Probleme matematică

Aici este răspunsul:

 mdionis, on 04 martie 2017 - 15:32, said:

Ai introdus altă funcţie.

 vvilmos, on 04 martie 2017 - 12:27, said:

Va multumesc mult pentru raspuns!
Nu am stiut proprietatea aceea a produsului infinit...
Asta e problema la facultatea de matematica, este foarta multa teorie, incat nu prea mai avem timp de probleme, nici macar de cele mai teoretice ( avem seminarii, dar sunt probleme stas acolo, nu se incurajeaza ganditul si rationamentul matematic). E cam fiecare pe cont propriu, dar poate asa e la orice facultate, nu stiu...
Revenind, intrebarea pe care am pus-o este echivalenta cu o problema la care ma gandeam de ceva timp, destul de interesanta, zic eu. O sa o atasez mai jos.
Acum vad ca ei in rezolvare au considerat un pic altfel, dar cam tot pe aici e ideea.

Edited by danutz96, 04 March 2017 - 16:07.

 vvilmos, on 04 martie 2017 - 15:56, said:

Ummm.

Functia introdusa de mine este: (Ctrl-C/Ctrl-V) "(9^x+6^x-4^x)^(1/x)" dupa cum se poate vedea si din captura de ecran atasata mesajului precedent.
Functia (1-x^2)/(1-x^3) este predefinita in widget la link-ul oferit de mine si, desigur, am schimbat-o cu f(x) din problema data.
Repet, nu ne referim la acelasi instrument.

Cred ca se refera la faptul ca dvs ati pus ...+6^x-4^x iar dumnealui ...+4^x-6^x.

 The_Cult, on 04 martie 2017 - 16:19, said:

OK. My bad.

Am inteles perfect, va multumesc.Si da, raspunsul corect este D) 9.

Am revenit cu o alta problema pe care profesoara nu stie sa o explice deloc.

[ https://s10.postimg.org/kexkuk13t/17148962_1740283329565962_960783122_o.jpg - Pentru incarcare in pagina (embed) Click aici ]

link: https://s10.postimg....960783122_o.jpg

Raspunsul este: pi/4 + 2kpi, insa nu stiu de unde acel 2 ? Profa nu a explicat deloc, doar le tranteste acolo...Ma puteti ajuta cu o explicatie ?

Edited by RazvanQR, 07 March 2017 - 02:24.

Iar tu nu stii sa atasezi o fotografie sa se inteleaga textul.
nu pot citi si nu vreau sa fac un efort

Ai facut o ridicare la patrat, ceea ce inseana ca solutiile finale trebuie verificate cu ecuatia initiala. Ce se intampla in acele kpi in care si sin si cos sunt negative? Mai verifica ecuatia initiala? Iaca de acolo acel 2.

 RazvanQR, on 07 martie 2017 - 02:24, said:

Bineinteles, rezolvarile  care introduc solutii suplimentare nedorite sunt de evitat pe cat posibil.
In cazul de fata, este destul de evident ca solutia corecta se poate obtine elegant si fara productia de solutii parazite. Ecuatia se rescrie: sin(x)/sqrt(2) + cos(x)/sqrt(2) = 1 si cum cos(pi/4) = sin(pi/4) = 1/sqrt(2), avem 1 = cos(pi/4)*sin(x) + sin(pi/4)*cos(x) = sin(x+pi/4) de unde x + pi/4 = pi/2 + 2k*pi -> x = pi/4 + 2k*pi.
Tehnica se poate folosi in general pentru orice ecuatie trigonometrica de forma a*sin(x) + b*cos(x) = c, cu ajutorul unghiului auxiliar phi = arctg(b/a).

Sigur, sunt de evitat, insa metoda rezolvarii prin observatie oarecum directa a solutiei necesita si demonstratia unicitatii formei solutiei. Un profesor carcotas la corectare l-ar putea intreba de unde stie ca nu mai exista si alte solutii a*pi + 2kpi unde a poate fi un nr rational sau chiar irational. Cred ca e mai bine pana se obisnuiste sa lucreze cu rezolvarea rudimentara, cu conditia de a intelege si a sti foarte bine cercul trigonometric si graficele fct trigonometrice.

 The_Cult, on 07 martie 2017 - 12:18, said:

Dat fiind ca toate operatiile facute sunt de echivalenta, solutia generica obtinuta este corecta si unica.
Apoi, nu am "observat" solutia ci am simplificat calculul de ajungere la ea observand ca nu trebuie trecut prin toti pasii de la metoda generica de rezolvare a ecuatiilor de tipul a*sin(x) + b*cos(x) = c:
1. impartit ecuatia cu sqrt(a²+b²)
2. notat phi = arctg(b/a) (un unghi unic determinabil in (-pi/2, pi/2) )
3. rescris ecuatia sub forma sin(x+phi) = c/sqrt(a²+b²)
4. in caz ca | c/sqrt(a²+b²) | <= 1 ecuatia are solutia (solutiile generice) x = arcsin(c/sqrt(a²+b²)) - phi + 2k*pi si x = pi - arcsin(c/sqrt(a²+b²)) - phi + 2k*pi (care devin confundate in caz ca modulul este 1)
Toata rezolvarea este rutina, nu observatie. Observatie este ca aici nu avem nevoie de a utiliza arctangenta pentru a il determina pe phi = pi/4 intrucat rezulta banal din manipularea datelor initiale.

Quote

Un profesor care ar intreba asa ceva nu ar merita epitetul de "carcotas" ci pe acela de "incompetent". Tangenta realizeaza o bijectie intre (-pi/2, pi/2) si R, arctangenta face la fel in sens invers: nu a fost introdus nimic in plus, nu a fost eliminat nimic.

De fapt treaba sta exact pe dos: "metoda" greoaie si cu solutii suplimentare a ridicarii la patrat este aplicabila doar in cazul particular in care |a| = |b|, altminteri nu putem reconstrui suma remarcabila sin²(x) + cos²(x) = 1. Deci solutia propusa pe foaie este nerecomandabila din toate punctele de vedere: nu este nici simpla, nici generala, nici lipsita de surse de erori potentiale.

Edited by mdionis, 07 March 2017 - 13:04.

 mdionis, on 07 martie 2017 - 12:41, said:

Nota: pentru mai multa rigoare, daca -pi/2 < phi < pi/2 -> cos(phi) > 0 ceea ce impune sa impartim ecuatia cu sgn(b )*sqrt(a²+b²). Evident, tehnica ramane aceeasi si daca b < 0, cu atentie la semne.

Edited by mdionis, 07 March 2017 - 14:13.

Au, am gafat impardonabil. Asa se intampla cand nu citesti tot. Am citit doar pana la "cum sin(pi/4)=cos(pi/4)=1/sqrt(2)" si am crezut ca ati rezumat direct la deducerea rezultatului. Acum abia, dupa dezvoltarea generalizarii am vazut ca si in prima rezolvare ati folosit de fapt observatia respectiva ca sa transformati in sin (a+ si ca rezolvarea era completa.
Mii de scuze inca o data, eram doar cu jumatate de ochi la tel si cu amandoi dupa copil ca iesea de la scoala.
Cred ca v-ati dat seama ca ma refeream la faptul ca in cazul lui observarea rezultatului era f simpla, dar fara unicitatea formei si fara o rezolvare era incomplet.

Edited by The_Cult, 07 March 2017 - 14:04.

Nu vad care-i logica formarii sirului:
2, 4, 10, X, 42

4=2*2
10=2*4+2
Nu e simplu.

Edited by The_Cult, 07 March 2017 - 15:37.

Eu am gasit o logica, dar te cam doare capul. Daca are altcineva alta mai usoara si mai buna e binevenit.

Scrii numerele din sirul lui Fibonacci.
Vei avea 2 impare, apoi unul par, apoi iar 2 impare apo iar unul par etc.
Sirul tau este format din 2*(al doilea nr impar, apoi nr par, apoi iar al doilea impar, apoi cel par etc)
Raspunsul in cazul asta e 16.

Edited by The_Cult, 07 March 2017 - 16:15.

nu poate fi asa complicata ca e de-a V-a