Probleme matematicã

mdionis, on 29 martie 2015 - 14:03, said:

?
Pentru G = Z2 x Z2 (care nu este ciclic) si p = 2:
N = 3, |end(G)| = 16, |aut(G)| = 6.
(În problema iniţială G era abelian. Soluţia pe care am postat-o nu e chiar simplă nici in acest caz.
Daca ai o soluţie corectă în cazul necomutativ, posteaz-o!).

vvilmos, on 03 aprilie 2015 - 12:04, said:

Ah, da, cred ca am produs cea mai frumoasa solutie gresita pe cazul general. De fapt trecusem cu vederea ca ultimul termen dintr-o suma este 1 si nu un numar divizibil cu N, deci |aut(G)| este k*N + 1, nu multiplu de N.

Quote

Deocamdata doar o observatie la solutia postata: |aut(G)| se divide obligatoriu cu p daca exista cel putin un e_n > 1. Daca insa toti coeficientii e_n = 1, divizibilitatea cu p nu mai este garantata. Incidental, daca p este 2, divizibilitatea este totusi intotdeauna asigurata de un factorial ce apare ca factor natural in numarul de automorfisme al lui H.

@mdionis: nu înţeleg de ce nu postezi soluţii (sau contraexemple) pentru a putea fi verificate.
Din Z2 x Z2 sau S3 se vede că |aut(G)| nu este k*N + 1.

vvilmos, on 06 aprilie 2015 - 08:11, said:

Am scris |aut(G)| in loc de |end(G)|; evident |end(Z₂xZ₂)| = 16 = 5*3+1 . In acest caz nu postez demonstratia chiar daca e draguta fiindca imi ia timp sa o tehnoredactez (poate daca intereseaza realmente pe cineva si gasesc timp am sa o fac). In rest, nu vreau sa le rapesc ocazia de a ajunge prin forte proprii la o solutie celor care vor sa isi bata ei insisi capul cu problemele.

Pentru afirmatia (observatia) a doua, este suficient sa numaram de exemplu automorfismele lui Z₃xZ₃ si sa vedem ca numarul lor nu e divizibil cu 3.

mdionis, on 06 aprilie 2015 - 10:58, said:

Retrag cele scrise mai sus.

mdionis, on 06 aprilie 2015 - 10:58, said:

Interesant şi ciudat din partea cuiva cu > 2000 de postări.

În legătură cu problema
G grup  finit şi |End(G)|, |Aut(G)| relativ prime ==> G este ciclic.

Pentru G este comutativ, soluţia am postat-o aici.
Dacă G nu este presupus comutativ, implicaţia nu are loc. De exemplu, pentru grupul altern A_n de ordin n (n>6)
(al permutărilor pare din S_n) avem
|Aut(A_n)| = n! si |End(A_n)| = n! + 1.

Am un patrat de latura 2a.
Pot plasa in el doua patrate de latura a care sa nu aiba niciun punct comun?
 2 patrate.jpg   4.48K   4 downloads

Edited by rebroff, 10 April 2015 - 09:29.

rebroff, on 10 aprilie 2015 - 09:29, said:

Nu.

Ca exercițiu pentru transformata Z, am de calculat termenul general al următorului șir (evident, factorialul), doar că am nevoie de o mică indicație de continuare:

[ https://i.imgur.com/rlFPZAU.png - Pentru incarcare in pagina (embed) Click aici ]

Edited by namespace, 10 April 2015 - 15:18.

mdionis, on 10 aprilie 2015 - 13:37, said:

Exact asa ma gandeam si eu.
M-ar interesa o demonstratie, totusi

Destul de simplu. Oricum ai aseza primul patrat, obtii niste zone dreptunghiulate dintre care cel putin una ar trebui sa aiba atat L cat si l mai mari decat a si asta nu se poate. Cateva calcule marunte. Asta e prima idee care imi vine in minte. Evident vei ajunge la cazul cel mai favorabil in care vor avea un punct comun.

namespace, on 10 aprilie 2015 - 15:17, said:

Problema pare nevinovată, dar nu este.
Aparent trebuie doar rezolvată ecuaţia diferenţială liniară în A(z), pe care ai scris-o corect.
Se poate rezolva, în expresia ei apare o funcţie ne-elementară (integrala exponenţială Ei). Nu aceasta e însă dificultatea reală, ci faptul că nu poate fi dezvoltată în serie de puteri!
Explicaţia este simplă. Pentru şirul tău (a_n = n!) seria de puteri dată de Z nu converge nicăieri ( sum_n  n!*z^(-n)  are raza de convergenţă 0 în (1/z)).

Pentru a rezolva totuşi astfel de probleme există posibilităţile:
a.) Se utilizează dezvoltări generalizate: de exemplu cu Maple se poate dezvola cu asympt(s,z) unde s este soluţia ecuaţiei diferenţiale (dar ar fi necesară şi o fundamentare teoretică).
b.) Se modifică şirul a_n pentru a fi mai încet divergent e.g. b_n = a_n / n!
[in cazul de faţă problema devine trivială căci b_n va fi şir constant, relaţia de recurenţă fiind b_{n+1} = b_n.]

Edited by vvilmos, 10 April 2015 - 17:35.

rebroff, on 10 aprilie 2015 - 17:12, said:

Deocamdata o indicatie: orice patrat de latura a interior patratului mare trebuie sa contina centrul patratului mare (ori ca punct interior, ori ca punct de contur), deci oricare doua patratele in conditiile problemei vor contine cel putin un punct comun. Mai tarziu, daca va mai fi nevoie, revin si cu o demonstratie.

as m-am gandit si eu...oricum, are legatura cu o teorema a lui Erdos, daca avem 2 patrate de laturi a si b, fara puncte interioare comune, inscrise intr-un patrat de latura 1, atunci a+b<=1

mdionis, on 10 aprilie 2015 - 17:37, said:

Nu mi se pare deloc evident ca un astfel de patrat trebuie sa aiba un punct comun cu centrul patratului mare!

Xenon2006, on 10 aprilie 2015 - 17:51, said:

Foarte interesanta aceasta teorema. Unde o pot gasi?

de exemplu, aici
http://math.stackexc...quares-in-a-box