Probleme matematică

Asta e funcția zeta a lui Riemann, concret, ζ(2) → pi² / 6 (demonstrație).

Treaba frumoasă este ζ(-1).

Editat de namespace, 23 martie 2014 - 13:24.

ca tot va plac seriile : lim(n->inf) P₁ⁿ(p_k²+1)/(p_k²-1), unde p_k reprezinta al k-ulea numar prim, si P₁ⁿ = produs cu k de la 1 la n.

ca exista limita e relativ simplu...

Am aici o fisa daca m-ati putea ajuta cu cateva sau care le are toate as fi recunoscator cu 5 euro orange/cosmote/vodafone!

1.

[ http://s28.postimg.org/tqsdbgf4d/mate1.jpg - Pentru incarcare in pagina (embed) Click aici ]


2.[ http://s13.postimg.org/pz1hj8kwn/mate2.jpg - Pentru incarcare in pagina (embed) Click aici ]

Sa se determine numarul irational x ¸stiind ca numerele x² + x si x³ + 2x² sunt numere intregi

Xenon2006, on 27 martie 2014 - 14:10, said:

x = A + sqrt( B ) ... -> A, B

x^2+x = a | x => x^3+x^2=a*x
x^3+2*x^2 = b
scadem si da x^2=b-a*x , dar x^2=a-x deci x-a*x=a-b x=(1-a)/(a-b ), a,b sunt nr intregi.

Editat de takemeintoyourskin, 27 martie 2014 - 14:36.

dar daca a=b?

atunci obtii numerele tale , x^2+x=x^3+2*x^2 se rezolva si dau 2 solutii irationale, (-1+-sqrt(5))/2

gresisem la calcule:)

Editat de Xenon2006, 27 martie 2014 - 15:02.

x^2+x-1=0 deci x^2+x=1 adica intreg si x^2+x=x^3+2*x^2 normal ca le verifica.

Xenon2006, on 27 martie 2014 - 14:10, said:

OJI 2014 clasa IX.
Vezi http://www.matebh.is...et/subiecte.php.

cam usor pentru un oji

asta mi se pare interesanta...
fie f:N -> N, f strict crescatoare. Sa se arate ca  exista un sir de numere reale strict pozitive, convergent la 0, astfel incat y_n < 2y_f(n) pt orice n

Xenon2006, on 27 martie 2014 - 18:58, said:

Da, e ceva mai interesanta.
Consideram (pentru convenienta) problema inversata, cu z_n = 1/y_n . Trebuie sa aratam ca exista un astfel de sir z_n > 0, crescator si nemarginit (ca sa "tinda la infinit"), care respecta conditia problemei rescrisa in z: z_f(n) < 2z_n.
Sa observam ca trebuie sa avem f(n) >= n si deci avem ori f(n) = n pentru orice n (functia identitate, caz in care putem lua linistiti z_n = n+0,1 si am rezolvat problema, 0,1 e adaugat ca sa nu am probleme in 0), ori f(n) > n de la un n* incolo. Ne concentram pe acest caz interesant si construim o functie strict crescatoare g:R -> R a carei restrictie la N imi furnizeaza sirul cautat. Putem sa luam n* = 1 pentru simplitatea expunerii (punctele cu n<n* se trateaza ca mai sus, avem o functie translatata). Luam g(1) = 1. Conditia problemei impune o restrictie pentru g(f(1))<2*g(1)=2. Definim pe prima portiune g: [1,f(1)] -> R, g₁(x) = (x-1)*(1-1/4-1)/(f(1)-1) (i.e. o crestere liniara din g(1) = 1 pana la g(f(1)) = 2*g(1)-1/4 astfel incat sa avem inegalitate stricta). Aceasta conditie determina univoc toate valorile z₂, z₃, ..., z_f(1) cu care pot defini la fel de univoc g(f(2)) = 2*z₂-1/4² , g(f(3)) = 2*z₃-1/4³, ... , g(f(f(1)) = 2*z_f(1) - 1/4^f(1). Putem defini deci in acelasi mod g pe portiunile [f(1),f(2)], [f(2),f(3)], ... , [f(f(1)-1),f(f(1))] (crestere liniara), ceea ce permite sa determinam univoc valorile z_f(1)+1 , ... , z_f(f(1)) si asa mai departe.
Prin constructie, functia g si restrictia ei la N sunt strict crescatoare. Ramane de aratat ca este nemarginita. Este suficient sa consideram sirul g(1) = 1, g(f(1)) = 2*1 - 1/4, g(f(f(1)) = 2*(2*1 - 1/4)-1/4^f(1) > 2*(2*1 - 1/4 - 1/4²) , ... si continuand avem g(f⁽ⁿ⁾(1))>2ⁿ. Deci g este nemarginita, la fel si z_n -> am construit sirul cerut ca y_n = 1/z_n.

takemeintoyourskin, on 27 martie 2014 - 14:35, said:

Da, ma cam "sifona" ceva la solutia aceasta generica si nu imi dadeam seama ce.
Problema e ca nu raspunde la cerinta problemei, x trebuia sa fie irational.
Raportul de aur (inversul lui...) este intr-adevar solutia unica si se obtine direct, asa cum spuneam mai sus: dat fiind ca x² + x - a = 0, avem ca x este o solutie a unei ecuatii de gradul 2 cu coeficienti intregi, deci este de forma indicata A + sqrt( B ) in care A si B sunt in Q, B nu e patrat perfect al vreunui numar rational. Dezvoltand x² si x³, si impunand conditia ca x² + x sa fie intreg (deci rational), rezulta ca sqrt( B ) trebuie sa aiba coeficient nul -> A = -1/2, analog, din a doua conditie rezulta B = 5/4 si deci x = (sqrt(5) -1)/2. Se verifica banal ca in acest caz avem x² + x = x³ + 2x² = 1.

Editat de mdionis, 28 martie 2014 - 23:08.

raspunde problemei, este clar ca nu exista a si b intregi, a.i x sa fie irational pentru a<>b, se cerceteaza cazul a=b si se obtin cele 2 solutii, sunt doua nu doar una.

O incercam si pe asta? Ca de weekend, sa ne mai destindem.
La un concurs sunt 3 usi. In spatele unei usi se afla premiul. Moderatorul te pune sa alegi o usa fara sa o deschizi. Apoi iti deschide el alta usa in spatele careia nu se afla nimic. Apoi iti da posibilitatea de a schimba usa aleasa initial cu cea de-a treia usa ramasa. Cum e mai convenabil, pastrezi usa aleasa initial sau o schimbi?
Parca am mai postat-o dar nu-mi amintesc sa fi vazut raspunsuri.