Probleme matematicã

Determinati cea mai mica valoare a expresiei:

E(x) = (5x² - 10x + 7) / (2x² - 4x + 3)

De la ce porneste rezolvarea?

Domeniu, limite, derivata, monotonie si pct de extrem?
Sau forma caninica, dar fiind fractie e putin mai complicat.
Deci incearca, treci la munca si vezi ce iti iese.
Eventual faci prin prima metoda si apoi vezi cum s-ar fi ajuns la rez ala si de ce in metoda a doua.

Edited by vidmaker, 30 March 2014 - 13:33.

As continua problema cu premiul si cele 3 usi prvind din alta perspectiva.
In teoria (dar si in practica) computationala exista posibilitatea evaluarii "lazy" a unei variabile. Evaluarea insemnand "relevarea" (calcularea) valorii acesteia. Tehnica evaluarii lazy presupune amanarea calcularii unei variabile pana in momentul in care ai efectiva nevoie de rezultatul evaluarii. Daca e sa vorbim de o variabila aleatoare lazy, ea este evaluata exact in momentul in care apare in membrul drept al unei atribuiri catre o variabila ne-lazy. Din perspectiva celui ce foloseste acea variabila, nu a re importanta cand anume a fost evaluata, dar nici nu poate deosebi daca a fost evaluata lazy sau nu. (pentru cei ce cunosc notiunea nu e nevoie de aceasta expunere).

Sa zicem ca avem un triplet de 3 variabile booleene (adev sau fals) (A, B, C) astfel incat una si numai una dintre variabile sa fie adevarata (usa cu premiul).
Repetam urmatorul experiment de un numar mare de ori
  Alegem variabila A (fara a-i citi valoarea), citim valoarea lui B. Daca se intampla ca sa fie adevarata renuntam la experiment. Altfel continuam cu citirea valorii lui A si lui C. Contorizam valorile de adevar in dreptul unui numar N_A respectiv N_C.

Acum avem 2 cazuri.
- Daca evaluarea variabilelor aleatoare A, B, C se face lazy N_C ≈ N_A.
- Daca evaluarea variabilelor aleatoare A, B, C se face la inceputul fiecarui experiment N_C ≈ 2 N_A.

In felul asta, daca repetam rexperimentul ne putem da seama daca premiul se pune acolo de la bun inceput sau daca un demon impartial (atat cat poate fi el de impartial) il pune in momentul in care tu deschizi una cu premiul.

Entaglementul din cuantica e o stare in care un astfel de demon isi arata fata. Existenta acestui demon e testata printr-un experiment de acest gen. De aia am amintit intr-un mesaj anterior de similitudinea cu testul inegalitatii lui bell.

Redount2k9, on 30 martie 2014 - 13:27, said:

E = 1/2*(10x²-20x+14)/(2x²-4x+3)=1/2*(10x²-20x+15-1)/(2x²-4x+3)=1/2(5-1/(2x²-4x+3)).

Si atunci E(x) e minima cand 1 / (2x² - 4x + 3) tinde spre infinit, adica 2x² - 4x + 3 trebuie sa fie minim. Avand acel x², e clar ca daca vrem sa cautam valori cat mai mici negative, vom obtine valori mari pozitive, de unde solutia x = 1.
Multumesc!

Cy_Cristian, on 30 martie 2014 - 16:19, said:

Mai simplu: y = (x-1)² = x² - 2x + 1 cuprins intre 0 si infinit, E = (1/2)*(5y+2)/(2y+1) = (1/2)*(5 - 3/(2y+1)), are un singur extrem, minimul, pentru y = 0 (valoare atinsa pentru x = 1). Pentru x -> +/- infinit, y -> infinit, E are asimptota orizontala evidenta 5/2 (nu se cheama extrema).

Edited by mdionis, 30 March 2014 - 18:32.

Am vrut s-o las asa, pt a putea vedea cazul general. Sa zicem ca ar fi fost 2x²-4x+1 si atunci ar fi aparut discutii mai interesante.
Pe de alta parte, mi s-a parut ca oricum am dus-o prea aproape de rezolvare. Dumneavoastra chiar ati finalizat-o. Consider ca n-ar trebui sa mergem asa departe cu astfel de probleme.

PS: De multe ori ma deranjaza faptul ca cerinta duce spre rezolvare si seteaza creierul spre un anumit rezultat. Poate ar fi mai bine sa se ceara analiza existentei minimului si maximului.

Pentru același exercițiu se poate construi funcția f(x) = E(x), a cărei derivată are forma f'(x) = 2(x - 1) / (2x² - 4x + 3)², cu numitorul evident pozitiv pe R, iar numitorul anulându-se la x = 1.
Cum f'(x) are semne contrare în x = 1, acest punct este punct de extrem, un minim global, deci implicit minimul expresiei.
Avem f(1) = E(1) = 2.

Mai mult, asimptotele oblice spre +/- inf. sunt date de dreapta y = 5/2.

Cy_Cristian, on 30 martie 2014 - 18:45, said:

In cazul general, nu putem scrie numaratorul si numitorul ca a*(acelasi trinom de grad 2 in x) + b, deci restul generic nu este de forma numar/(trinom de grad 2 in x) ci (binom de grad 1 in x)/(trinom de grad 2 in x) al carui studiu e oleaca mai putin banal.

Quote

Am finalizat expunerea dupa ce propunatorul exercitiului a dovedit ca inca mai e in confuzie. Altminteri ar fi ramas cu sugestia.

Quote

Cel mai bine ar fi cerut sa se studieze functia.

Adica sumar cum i--am scris eu: domeniu, limite, derivat, extreme si monotonie? )
Oo da, mie asa imi plade sa ajut, adica sa nu-i spun nimic. Sa vad mai intai ca stie sa faca niste calcule sau intelege niste notiuni. Dupa aceea putem discuta despre metode inedite, dar cand ai o metoda atat de simpla si intrebi de unde pornesti...

mdionis, on 30 martie 2014 - 19:02, said:

Eu ma refeream pe cazul particular, in care numaratorul este o constanta.
Cazul general a fost o problema la ONM '95, clasa a X-a (P, Q din R[X], cu grad(P)<grad(Q). Atunci P/Q se poate scrie sub forma ...).

mdionis, on 30 martie 2014 - 19:02, said:

Cel mai probabil n-am fost atent si am vazut doar raspunsul dumneavoastra, nu si pe cel al propunatorului.

Edited by Cy_Cristian, 30 March 2014 - 19:19.

namespace, on 30 martie 2014 - 18:54, said:

Evident orizontale, nu oblice.

Edited by namespace, 30 March 2014 - 19:55.

Cy_Cristian, on 30 martie 2014 - 11:12, said:

cum adica nu pica ? perpendiculara din E pe DMB in ce punct este ?

mdionis, on 30 martie 2014 - 19:02, said:

Ce sa faca? Sa "studieze" functia? Cum? Sub lupa, la microscop? Sa-i ia pulsul?

Eu stiu ca matematicienii in general sunt handicapati la capitolul comunicare, dar matematicienii romani se afla la un capat extrem in aceasta privinta(nu ma refer la dumneata aici) .
Vedeti voi, de asta e invatamantul romanesc de kk. Pe langa ca au de studiat matematica in sine, elevii trebuie sa memoreze un numar de termeni imbecili care adesea nu sugereaza asbolut nimic, ba mai si creeaza confuzie (ca de ex. surjectiv, injectiv, bijectiv - usor de incurcat termenii). Nu stiu de unde au aparut apucaturile astea, cred ca influenta masiva de la sovietici.. si probabil de la retardatii de Bourbaki... trebuie schimbate toate astea daca avem pretentii de invatamant cu rezultate practice si nu doar de o armata de zapaciti (care ajung asa nu din vina lor) si de o mana de prapaditi teoreticieni inepti care sufera masiv de efectul Dunning-Kruger.

Quote

de ce sa mai invatam sa denumin substantele chimice? oricum seama intre ele si sunt usor de incurcat. de fapt, de ce sa mai retinem prenumele oamenilor? Marius, Marian, Mircea, tot aia e.

silviutp, on 30 martie 2014 - 21:48, said:

Distanta este o marime si nu un punct. In cazul de fata, este lungimea segmentului format de E si proiectia lui pe planul DBM. Asta pentru rigoare.
In schimb n-ai zis daca ai reusit sa mergi mai departe cu rezolvarea.

Cy_Cristian, on 30 martie 2014 - 22:14, said:

distanta este un segment care pleaca din E si se termina intr-un punct in planul DBM. intrebam unde este acel punct ?
nu am vazut cu ce ma ajuta ce mi-ai zis. eu am facut asa:
am dus PQ paralel cu MO, Q mijlocul lui EB, PQ _|_ EB si am gasit ca distanta de la E la (MBD) este perpendiculara din E pe PB, pentru ca PB este in planul (MBD) BD _|_ pe planul (EBP).
dupa care am calculat-o din triunghiul EPB isoscel la care ii stiu laturile...
ai o varianta mai simpla ?

doctorwho, on 30 martie 2014 - 22:09, said:

Fiindca substantele chimice se preteaza la asa ceva, nefiind usor de facut referire la ele in alt mod. Ca si la oameni. De aia. Pe cand in matematica nu e nevoie de asa ceva, exista exprimare mult mai clara si naturala pentru conceptele respective.