Probleme matematică

 maccip, on 11 octombrie 2016 - 13:13, said:

Atunci când în problemă nu se specifică restricții , trebuie să căutăm toate soluțiile posibile și asta mi-a spus-o un profesor de matematică foarte bun.Ceea ce Dvs. spuneti este ca și cum ecuația x^2+2x+3=0 nu are soluții deorece Dvs. susțineți ca x aparține mulțimii reale. Nu e natural să presupui nimic ci doar sa încerci sa rezolvi problema!Ați auzit de "Teorema fundamentală a algebrei"?Citiți:
https://ro.wikipedia....
----------------------------------------------------
Citți:
https://www.wolframa...9;(x)|=-x^2-x-1

Edited by kosinus, 11 October 2016 - 17:39.

Mda..
Adica probleme de genul muta un bat de chibrit astfel incat rezultatul sa fie corect.
Nu mi-a placut matematica amestecata cu rebusul.
De aia zic, orice te-ai pregati sa demonstrezi e fals, contestabil.
Mai bine fii cinstit si enunta problema cum trebuie.

Profesorul meu te mate, daca spuneam cuvantul "functie" dupa care nu urma "definita pe" si "cu valori in", ma trimitea la loc si-mi punea 2.
Mai ales cand "smecheria" e tocmai domeniul de definitie.
La problema anterioara te-ai cam facut de ras, ca dovada a neintelegerii importantei domeniuli si codomeniului.

 kosinus, on 11 octombrie 2016 - 17:34, said:

Cat de bun era, ramane de vazut si din ceea ce produc fostii sai discipoli. Bine, probabil ca nici dumneata nu ai fost exact cel mai reprezentativ elev in ceea ce priveste rezultatele invatarii.
Asa cum a observat si maccip, dumneata propui aici probleme-capcana in mod deliberat, pentru a agita apele, nu pentru a intelege o eventuala rezolvare corecta a lor (care nu coincide cu ceea ce furnizeaza site-ul WolframAlpha: preluarea necritica a rezultatelor de acolo nu e o carte de vizita prea fericita).

Ecuatia dumitale nu are in mod evident solutii reale. Spre deosebire de balastul ideatic referitor la ecuatiile algebrice (pentru care C este corp inchis si este valabila TFA pe care o mentionezi repetat si inutil), aici nu putem proceda in mod automat transpunand in complex intrucat avem nevoie in acest caz de aplicabilitatea notiunii de derivabilitate pe C:

A complex function f(z) is differentiable at a point z ∈ C if and only if the limiting difference quotient exists:
f'(z) = lim_{w -> z} (f(w) - f(z))/(w-z) (16.21)
The key feature of this definition is that the limiting value f'(z) of the difference quotient must be independent of how w converges to z. On the real line, there are only two directions to approach a limiting point — either from the left or from the right. These lead to the concepts of left and right handed derivatives and their equality is required for the existence of the usual derivative of a real function. In the complex plane, there are an infinite variety of directions to approach the point z, and the definition requires that all of these “directional derivatives” must agree. This is the reason for the more severe restrictions on complex derivatives, and, in consequence, the source of their remarkable properties. (Peter Olver - curs de analiza complexa online http://www.math.umn....olver/am_/c.pdf)

Asadar derivabilitatea pe C este un concept mai complicat si mai interesant decat  pe R care presupune posibilitatea de a te apropia de oricare punct de acumulare din toate directiile planului.
Pentru a putea rezolva ecuatia diferentiala data, trebuie sa presupunem ca f este C-derivabila, si atunci domeniul ei de definitie ar trebui sa fie intregul plan complex (cu eventuale taieturi). In mod evident insa, acest lucru nu se petrece intrucat egalitatea din enunt se poate indeplini doar pentru acele valori ale argumentului pentru care rhs este un numar real si pozitiv. Punand -(z² + z + 1) = b² (cu b real) obtinem ca valorile permise pentru argumentul z sunt caracterizate de Re(z) = -1/2 si Im(z) = sqrt(b² + 3/4), ceea ce reprezinta doua semidrepte simetrice fata de axa reala. In mod evident, un astfel eventual domeniu de definitie pentru f(z) nu permite si definirea convenabila a unei derivate complexe.
Mai general, faptul ca |z| este neolomorfa face parte dintre primele chestii care se invata la analiza complexa, deci apriori ecuatia propusa era din start plina de bube.

De regula insa, problemele de tip ecuatie diferentiala pleaca de la specificarea domeniului (o multime deschisa de cele mai multe ori). Desigur, aici nu avem asa ceva ci o determinare ad-hoc a unui domeniu de variatie al argumentului complex care face ca modulul unei sume prost definite acolo sa fie egal cu valoarea sa numerica fara modul.

Evident, substituind "solutia" oferita de un software optimist nu se obtine nimic bun pentru orice z in afara domeniului de variatie obtinut mai sus.

In rezumat, o problema prost pusa si o intrebare fara rost.

Frumoasa expunede mdionis, macar mai invatam noi ceilalti cate ceva, kosinus nu-l vad pe directia care trebuie.


Acum vad ca erau si derivate pe-acolo, deci chestia cu merele si perele picau din start. Pacat! Ar fi fost frumos sa gasesc o functie de genul asta.

 maccip, on 11 octombrie 2016 - 17:48, said:

La problema de genul aceleia date de mine este aberant să dau domeniul de definiție și cel de valori atâta timp cât nu se cunoaște funcția.Cum ar fi rezolvat,profesorul Dvs.,problema următoare:
Să se găseasca funcțiile f(x) știind că xf²(x)-(x^2+x+1)f(x)+x+1=0?
Este de plâns cum pot raționa unii didacticiști și discipolii acestora.....

Cine plange la urma, plange mai bine.

Edited by maccip, 12 October 2016 - 07:48.

 mdionis, on 11 octombrie 2016 - 20:28, said:

Faptul că Dvs. veniți cu argumente diverse și academice care încântă o parte a auditoriului Dvs,,denotă că încercați să dregeți busuiocul....iar pe mine mă îngrijorează faptul că în școala românească se predă cunoștințele de matematică ca pe niște poezii ce trebuiesc învățate pe de rost, ceea ce este dramatic dar și tragic...
Fără supărare,dar "WolframAlpha" a rezolvat corect problema și a dat cele două funcții care verifică ecuația propusă de mine.Pentru a vedea domeniul de definiție al acestor funcții este evident că x trebuie să fie de forma x=a+bi unde a,b aparțin lui R cu a=-0,5 , b diferit de zero și i^2=-1.Eu vă înțeleg ,cumva, că sunteți frustrat dar asta nu înseamnă că trebuie să mă jigniți fără a avea argumente logice.Ați scris Domnului Wolfram sau propgramului "WolframAlpha"?Dacă da,atunci vă rog frumos să postați răspunsul dânșilor aici.

Toate cele bune,

Kosinus

 maccip, on 12 octombrie 2016 - 07:47, said:

"Punețî mâna pe carte,că nu urzică" și "Învățați,Învățați,Învățați".

Edited by kosinus, 12 October 2016 - 08:21.

 kosinus, on 12 octombrie 2016 - 08:21, said:

Intrebare preliminara nr.1: dumneata ai urmat vreodata un curs de analiza complexa? (raspuns cu "da" sau "nu", preferabil sincer, altminteri nu ajungem nicaieri)

Quote

Fara suparare, "We appreciate your feedback regarding Wolfram|Alpha. The issue you reported has been passed along to our development team for review. Thank you for helping us improve Wolfram|Alpha.".

Intrebare preliminara nr.2: se considera functia f:N -> R, f(x) = x^1/2. Este aceasta functie derivabila? daca da, care este derivata ei, daca nu, de ce nu ar fi derivabila?!

 mdionis, on 12 octombrie 2016 - 15:00, said:

Răspuns preliminar Nr.1 - Atât cât am făcut în liceu și ceva în plus la o facultate tehnică.
Răspuns preliminar Nr.2 - Care este graficul funcției propuse de Dvs.????Cum puteți construi o tangentă la un punct????
-------------------------------------
Intrebarea I-a:
Cât fac radical din 4?
---------------------------------
Fără supărare , dar aș vrea să postați răspunsul original și complet dat de "WolframAlpha" așa cum vine prin "e-mail address"....Acel răspuns (dacă este numai acela) este doar unul politicos așa cum stă bine unor gentlemeni.Aștept cu nerăbdare să văd cât de repede va revizui echipa de la "WolframAlpha" ceea ce Dvs. le-ați transmis că nu ar fi corect!

Toate cele bune,

Kosinus

Edited by kosinus, 12 October 2016 - 18:51.

 maccip, on 12 octombrie 2016 - 07:47, said:

Ați și apărut!?!?!

 kosinus, on 12 octombrie 2016 - 18:24, said:

Sa inteleg ca acel "ceva in plus" face ca raspunsul sa tinda spre "da"? Evident, prin "analiza complexa" nu ma refer la algebra numerelor complexe completata cu formula lui Euler ci in principal la intreaga teorie dedicata studiului functiilor (h)olomorfe.
Din teoria respectiva sa retinem de exemplu sintagma "Cauchy-Riemann": o consideri un academism sau o descriere adecvata a derivabilitatii in C?

Quote

Nu am inteles daca raspunsul este pozitiv sau negativ. Banuiesc insa din interogatiile retorice ca ar inclina catre un raspuns (corect) negativ. Dincolo de interpretarea geometrica, la nivel algebric, derivata unei functii (reale) intr-un punct se defineste ca valoare limita unui raport de diferente incrementale. Ramanand strict la acest nivel, de ce functia f:N -> R, f(x) = x^1/2 nu se poate deriva, in vreme ce g:R -> R, g(x) = x^1/2 da?

Quote

Ne jucam de-a definitiile de scoala elementara? Radicalul unui numar real si pozitiv a este prin definitie unicul numar real si pozitiv al carui patrat face a. Deci raspunsul unic este 2.
Pe de alta parte, ecuatia x² = 4 are doua solutii reale, x₁ = 2 si x₂ = -2.

Insa nu cred ca dumneata te afli in pozitia celui care este in masura sa puna intrebari relevante.

Quote

Am postat exact ceea ce mi-au scris, nu pentru ca ar avea vreo relevanta majora aici ci pentru a incheia discutiile colaterale si inutile.
As vrea sa atrag atentia asupra faptului foarte graitor ca WolframAlpha nu mentioneaza nici pe departe vreo posibila restrictie a "solutiilor" oferite pentru ecuatie, deci sunt din start sanctionabili.

kosinuse, matematica nu se face cu manie si incrancenare.
Din pct meu de vedere, n-am niciun stresSs sa-ti dau dreptate daca esti convingator.
Tu nici macar nu incerci sa fii convingator.
Eu am citit in alta cheie altfel demersul tau. Vrei sa pari un fel de neinteles, un Dirichlet ceva.
Valoarea celor spuse de tine e zero pentru ca doar arunci niste dude, fara sa le sustii. Asa-i se imparte dreptatea in stiinta.
Adica pe mine,(eu fiind totusi din afara matematicii, mai arunc cate o privire peste gard la fereastra luminata a celor luminati) n-ai reusit sa ma convingi, desi (ia-o ca pe o premisa) nu-s chiar asa de prost.
Ti-am zis inca de la primul raspuns ce nu mi se pare mie in regula. Puteai sa ma corectezi, sa-mi arati ce am gresit. Mie si altora.
Si asa calitatea forumurilor romanesti este destul de joasa, hai sa n-o facem si mai joasa.

 maccip, on 12 octombrie 2016 - 19:12, said:

Eu nu vreau să conving pe nimeni ci vreau ca eu să fiu convins că am înțeles foarte bine cum se rezolvă o problemă de matematică sau alta.Nu știu cât de neînțeles a fost Dirichlet,dar eu când nu-nțeleg ceva întreb.Ce nu ați înțeles din ceea ce am spus eu?

Edited by kosinus, 12 October 2016 - 19:24.

colegi, eu spun ca situatia trebuie incheiata aici. deja se ajung la vorbe care nu numai ca jignesc pe colegii de arie, dar nu aduc cinste nici celor care fac acele jigniri.

daca aria de matematica doreste a ajuta colegii ce au intrebari despre anumite exercitii si probleme care ii pun in dificultate, pai atunci asa sa ramana si sa nu fie transformata intr-un camp de lupta in privinta unui program sau de convingere obligatorie a colegilor cu o parere unanim valabila, pe baza de limbaje "usturatoare".

asa ca va rog sa incetati aici dezbaterile si sa ajutam colegii ce chiar au nevoie. o alta atentionare nu voi mai face, este prima si ultima.

Edited by Dany_Darke, 12 October 2016 - 19:32.

 mdionis, on 12 octombrie 2016 - 18:52, said:

Muți profesori de gimnaziu si de liceu mi-au spus , aiuritor, că radical din 4 fac +-2.... Despre funcții olomorfe și proprietățile lor am făcut la facultate atât cât am făcut...adică puțin...
Bine,am înțeles!Haideți să facem pace și să fim prieteni pentru că oricum Dvs. aveți mai multe cunoștințe de matematică decât mine și am multe de învățat de la Dvs. si de la ceilalți frumiști...
Toate cele bune,cu stimă,

Kosinus

Asta cu radicalul avand 2 valori nu are nicio logica. Iti dai seama ca radical(x) nici n-ar mai fi functie. Iar formula distantei ar trebui sa fie modul(radical(...)). Nu am vazut-o niciodata scrisa sub forma asta.
Bine ecuatia x²=4 are 2 radacini, asta e clar pentru toata lumea, dar sunt +radical(4)  si -radical(4). Adica 2 si -2.

Ma rog... e o chestiune de conventie. Istoric putea sa fi fost altfel. Insa e o conventie de bun simt si profitabila. Pentru ca altfel, era nevoie de inca un operator sau functie care sa exprime valoarea radacinii principale  (ca sa zic asa...).

Iar chestia cu olomorfia o uitasem si eu. Mi-am reimprospatat notiunea relativ recent cand am citit despre functia lui Riemann Zeta.
Si am s-o uit la loc ca nu cred ca-mi trebuie.

Insa e de bun simt, inginereste vorbind. De fapt nici nu-mi pot imagina acum o functie inginereasca care sa nu fie olomorfa. Iti trebuie o minte ca Dirichlet s-o faca. Ala sigur nu era inginer.

Quote

in general, functiile care intervin in descrierea sistemelor fizice sunt ... "cumsecade". de fapt, nu cred ca trece vreo zi la faculatate in care sa nu-mi aud profesorii zicand "si pentru ca functiile cu care lucram sunt cumsecade..."

 kosinus, on 12 octombrie 2016 - 19:36, said:

OK, atunci sursa confuziei este mai clara.
Intrebarile mele erau relevante intrucat ajuta la lamurirea confuziei.

Functia f definita mai sus se poate considera evident restrictia lui g la submultimea N a lui R. Derivabilitatea pe R lui g nu implica derivabilitate mostenita pentru f. De ce? Fiindca niciun punct al domeniului de definitie al lui f nu este unul de acumulare -> altfel spus: niciun punct x al domeniului N nu are suficiente puncte din N intr-o vecinatate a sa pentru a putea defini in mod convenabil limita raportului incremental si, odata cu ea, notiunea de derivata a lui f in punctul x considerat.

Derivabilitatea complexa este un concept ceva mai special si restrictiv decat derivabilitatea pe R (insa si proprietatile functiilor C-derivabile sunt mai interesante). Ecuatiile Cauchy-Riemann exprima o conditie pe care trebuie sa o indeplineasca derivatele partiale fata de partea reala (x) si cea imaginara (y) ale unei functii complexe pentru ca functia respectiva sa fie derivabila intr-un punct din C.
Fie D = { z = -1/2 + t*i , |t| >= sqrt(3)/2 } domeniul propus ca valabil pentru "solutia" oferita de WolframAlpha (cele doua semidrepte din planul complex).
Functia g₁: C -> C, g₁(z) = -z² + z - 2 (am luat pentru simplitate c1 = 0 in "solutia" data de site) este C-derivabila in orice punct al planului complex insa nu este o solutie a ecuatiei initiale (pentru orice z care nu apartine lui D, egalitatea nu poate fi satisfacuta). Cum este insa restrictia ei la submultimea D a planului complex, f₁: D -> C, f₁(z) = -z² + z - 2? Sa incercam sa exprimam derivatele partiale fata de partea reala si cea imaginara a lui z, cu z in D. Pentru partea imaginara obtinem imediat un rezultat analitic, insa pentru derivata fata de partea reala nu: toate punctele din D au fix aceeasi parte reala, nu putem crea un raport incremental nenul dupa partea reala pe care sa il consideram apoi la limita, in consecinta derivatele partiale dupa Re(z) ale partilor reala si imaginara ale lui f₁(z) nu exista! Deci nu ne aflam in situatia de a verifica conditiile de C-derivabilitate Cauchy-Riemann. In consecinta, f₁ nu este C-derivabila, in esenta dintr-un motiv similar celui pentru care f de mai sus nu este R-derivabila: domeniul sau nu contine suficiente puncte in vecinatatea unui punct z din D pentru a putea defini in mod convenabil derivatele directionale dupa Re(z) si Im(z) si, impreuna cu ele, derivata complexa in punctul dat. Rezulta ca nu putem asocia un sens matematic acestui f₁'(x) pentru a il putea inlocui in ecuatia diferentiala propusa si pentru a verifica egalitatea lhs cu rhs (ca mai inainte, derivabilitatea nu se "mosteneste" automat de la o multime la o submultime a sa, este necesar ca submultimea sa satisfaca anumite conditii care aici nu se verifica). In mod practic, aceasta inseamna ca nici f₁ nu poate fi o solutie a ecuatiei respective. Deci ecuatia nu are solutie.

Merita efortul de a citi ceva in plus despre analiza complexa.

Quote

Eu nu am fost si nu sunt in razboi cu nimeni. Daca vad scris ceva demonstrabil incorect, critic afirmatiile, nu persoanele care le fac. Pe de alta parte, incapatanarea de a nu recepta argumentatiile rationale este un obicei pagubos si care ar trebui evitat.

Edited by mdionis, 12 October 2016 - 22:07.