Probleme matematică

Ok, inca o intreabre.
E o problema care zice ca f:R->R are proprietatea ca f(f(x))=x, pt orice x real, si f e diferita de identitate. Si ne cere sa aratam ca functia asta nu are proprietatea lui Darboux.
Ce am aratat eu a fost  pe baza de intervale si imaginea functiei pe anumite portiuni, ca daca f are Darboux, atunci functia este sau+x sau -x pt orice x real.
Ei in demonstratie au aratat ca f nu poate fi decat identitatea. Au zis ca f e bijectiva, si cum are darboux este strict monotona si continua, apoi au presupus ca exista a cu a>f(a) si au luat functia g(x)=f(x)-x conctinua, cu g(a)>0 si g(f(a))<0, de unde exista c cuprins intre a si f(a) cu g©=0, adica f©=c, de unde contradictia, si au dat-o pe analog daca a<f(a).
De ce nu functioneaza demonstratia lor pentru f(x)=-x?

Edited by danutz96, 28 July 2016 - 10:00.

In primul rand n-am inteles contradicitia. Faptul ca exist au punct c, astfel incat f( c)=c, nu inseamna ca f este identitate.
In al doilea rand, orice functie de tipul f(x)=-x+a (a constant) satisface f(f(x))=x, care evident are Darboux si nu este identitate.
Eu cred ca fie au scapat ei ceva din cerinta, fie ti-a scapat tie. Am mai vazut (indirect) si profesori care nu prea stiau mate, dar stiam ca tu esti la o facultate super ok si as elimina ultimul caz dintre posibilitati.

Ei nu au scăpat nimic din cerință, pentru ca asa au făcut și rezolvarea. Adică nu apare nimic nou în rezolvare, care sa fie vreo condiție din ipoteza.
Problema este de la o județeană din 96, parca.

Mai am nevoie de putin ajutor
Daca avem o functie continua f:[0;1]->R, cu proprietatea ca f(x+y)=f(x)+f(y), pt orice x si y din [0;1] cu x+y<=1, atunci f este de forma f(x)=ax, cu a real, pentru orice x?

Eu cam asa vad rezolvarea
1)  f(X+0) =f(X) + f(0)  pentru orice X, deci f(0)=0
2) Verifici continuitatea functiei in 0. lim  f(0+eps) = f(0)+f(eps) (se  verifica) ca lim f(eps)=f(0)=0 )
3) Verifici continuitatea pe domeniu lim f(X+eps)=f(X)+f(eps)=f(X)+f(0)=f(X)
4) Verifici derivabilitatea lim (f(x+eps)-f(x))/eps= lim (f(X)+f(eps)-f(X))/eps = f(eps)/eps= const pentru orice X.
Deci practic ai de a face cu o functie care pleaca din zero cu o panta care se pastreaza constanta pe tot intervalul de definitie.
Deci da, f este de forma f(x)=ax pentru orice x.

Edited by maccip, 30 August 2016 - 09:59.

Continuitatea functiei o aveam din ipoteza, iar la derivabilitate nu avem o problema cand tindem eps la 0?
Si cum facem cu derivabilitatea in 1?

Edited by danutz96, 30 August 2016 - 12:55.

Derivata in orice punct e egala cu derivata in 0, oricare ar fi aia. Pentru derivata in 1 poti sa te apropii din stanga, tot aia iti iese, ca e constanta pe intervalul de definitie.

De unde stim ca e derivabila in 0? Sau macar ca are derivata? Adica de unde stim ca lim f(x)/x cand x tinde la 0 exista si este finita?
Si in 1 nu merge sa te folosesti de proprietatea functiei din ipoteza, si nu cred ca mai rezolvi ceva...
Adica daca incerci f(1+epsilon)- [oricum nu ar avea sens] , 1+epsilon >1, iar daca incerci f(1-epsilon)=f(1+(-epsilon)), iar -epsilon<0...

Edited by danutz96, 30 August 2016 - 13:26.

Pentru 0 ai lim F(0+eps)-F(0) / eps = lim F(eps)/eps
E aceiasi valoare pe care o obtii pe oricare alt punct din intervalul (0,1), fie ea infinita sau nu.
Daca valoarea e infinita si constanta pe domeniul asta, inseamna ca functia e infinita pe domeniu.
Adica F(0)=0 si F(x) = infinit. Adica nu e functie, e o pseudofnctie care inca verifica conditiile din ipoteza.

In 1 nu ai cum sa verifici pentru ca nu ai cum sa te apropii din stanga, ai dreptate.
Insa...
Daca pe intervalul [0, 1) ai functia de tipul f(x)=ax si e continua inclusiv in 1, atunci f(1)=a, reiese din tipul functiei pe care tocmai ai gasit-o pe [0,1)
Adica in final f(x) =ax pe tot intervalul, a fiind panta aia constanta.

In plus poti arata ca si F(z-y) = F(z)-F(y)
cand z-y se afla in intervalul de definitie.

deoarece

daca z=x+y,
F(z-y)=F(x)
iar F(z)-F(y)= F(x+y)-F(y)=F(x)+F(y)-F(y)=tot F(x)
Deci poti folosi si aceasta proprietate daca vrei sa te apropii de 1 din stanga.

Edited by maccip, 30 August 2016 - 13:56.

Intr-o progresie aritmetica cu 10 termeni suma termenilor de rang par este 25, iar suma termenilor de rang impar este 10. Sa se afle termenul al saptelea al progresiei.  

Habar n-am cum se rezolva

exydos, on 11 septembrie 2016 - 17:05, said:

Un sistem de 2 ecuatii cu doua necunoscute.

 a.png   27.91K   14 downloads

mersi , de ce acolo la  siru impar +5k?

Edited by exydos, 11 September 2016 - 17:42.

a2 e cu k mai mare decat a1, a4 e cu k mai mare decat a3, etc.

Intrebare : Cum aflam daca un sir este sau nu marginit , si marginile inferioare si superioare?
Stiu ca putem sa aflam un capat daca scadem din unu ceva si punem ca partea stanga mai mica ca dreapta , dar nu de fiecare data merge.

Sunt mai multe tehnici. Depinde de sir.
Te referi la lema clestelui (criteriul clestelui)?

maccip, on 11 septembrie 2016 - 21:20, said:

Nu , ma refer la siruri numerice , crescatoare sau descrescatoare.

Stiu doar ca o margine aflam din a de 1 si cealalta o comparam cu 1

In clasa de ex la exemplul (n-1)/(n+1) , am aflat monotonia , am aflat ca siru este crescator =: marginea inferioara este a(n)=0
marginea superioara (n-1+2)/(n+1)=1-2/(n+1) =: marginea superioara este 1 deci sir marginit

Edited by exydos, 11 September 2016 - 21:32.

Cred ca te referi la un procedeu specific pe care l-ai facut tu la scoala ca nu-mi dau seama exact ce vrei.
Daca ai notiunea de limita, e simplu. Orice sir care are limita e marginit.

Marginirea nu e greu de aratat daca ai forma generala a termenilor. Pentru ca poti studia limita.

Chestia cu marginirea e folosita intr-o teorema (sau criteriu de convergenta, nu mai stiu cum ii zice) care zice ca orice sir marginit si convergent este convergent.
Cred ca-i teorema lui Weierstrass asta.
De regula cauti sa vezi daca e marginit sa-i arati convergenta. Daca e convergent, atunci e si marginit.
Iar convergenta se poate arata si prin alte metode, mai ales la sirurile in care stii forma termenilor.
spre exemplu lim (n->infinit) (n-1)/(n+1) = 1, deci sirul este convergent, deci marginit.

Acuma..

Pentru a arata ca lim (n-1)/(n+1) =1, sunt mai multe metode, nu stiu pe care le-ai facut la scoala. Mai tarziu cand o sa stii derivatele (banuiesc ca nu le-ai facut inca), o sa ai o metoda mult mai buna.
Daca nu stii derivatele, atunci poti incerca sa scrii expresia (n-1)/(n+1) sub o alta forma.
In cazul tau particular, avand de-aface cu un raport de polinoame, e normal sa faci impartirea celor doua polinoame sa vezi unde poate duce limita aia. Folosesti schema lui Horner pentru impartirea polinoamenlor, obtii catul si restul. Ceva de genul
PolinomnP/PolinomQ=PolinomCat + PolinomRest/PolinomQ.

Limita acelui raport va fi dat de PolinomCat deoarece gradul lui PolinomRest e mai mic decat gradul lui PolinomQ.
In cazul tau ai (n-1) impartit la (n+1) = 1 rest -2
Adica (n-1)/(n+1)=1-2/(n+1)


Aici a fost vorba despre raport de 2 polinoame. Metoda cu schema lui Horner merge doar in cazul asta. Dar poti fi si alte cazuri, de aia zic.. nu exista o metoda universal valabila de aflare a limitei sau a marginirii unui sir.