Probleme matematică

ccdsah, on 08 martie 2015 - 03:08, said:

In cazul in care iese pe primul loc nu e satisfacuta ipoteza, deci nu putem discuta de un contraexemplu.

mdionis, on 01 martie 2015 - 02:29, said:

Va multumesc mult !

Buna,
Revin cu patru probleme. Din pacate sunt contra timp, asa ca ma ajuta orice idee. Multumesc !
1. Numerele naturale a si b+1 sunt direct proportioanale cu b si a-1. Aflati cmmdc al numerelor a si b.

Edited by jamesbond1975, 13 March 2015 - 15:02.

1. a/b=(b+1)/(a-1)==>a/(a+b )=(b+1)/(a+b )==>a=b+1==>cmmd(a,b )=1

Edited by Cy_Cristian, 13 March 2015 - 15:14.

Cy_Cristian, on 13 martie 2015 - 15:13, said:

Nu ma gandeam ca s-ar face intr-un rand Multumesc !

Edited by jamesbond1975, 13 March 2015 - 15:30.

2. arati ca DI = CI. Arati ca mas(ICD) = 45=> DI perp pe CI; Arati ca Bt perp pe CI=> DI || BT. Analog EI || CT

4. reciproca T Ceva: AB/BC = 1/2, etc...

3.Cam complicate calculele..Notam cu S intersectia AB cu PM. Notam P₁ intersectia lui AK cu DB. Calculam AK/KP₁ din t Menelaus in MBD, BMS si ceva in AMP₁. Notam similar P₂ intersectia AK cu CE si procedam similar sa calculam AK/KP₂...Ar trebui sa fie egale de unde P₁ = P₂.

Xenon2006, on 13 martie 2015 - 15:41, said:

Multumesc! A patra a iesit. Dar la a doua tot nu prea imi dau seama. Cum demonstrez ca CI perp pe BT ?

Edited by jamesbond1975, 13 March 2015 - 17:30.

Cum ai demonstrat ca CI=DI?
Se aplica cam aceeasi metoda.

Edited by Cy_Cristian, 13 March 2015 - 17:32.

Cy_Cristian, on 13 martie 2015 - 17:31, said:

Asa e. Bisectoare in tr isoscel. Nu stiu de ce nu-mi dadeam seama. Acum e gata problema. Multumesc!

Raspunde la intrebarea mea din postarea anterioara.
Ai apucat sa vezi ce-am postat initial .

Cy_Cristian, on 13 martie 2015 - 17:31, said:

Asa e. Mi-am dat seama acum. Multumesc

Xenon2006, on 04 martie 2015 - 16:00, said:

Da, conform binecunoscutei teoreme a lui Lagrange. Insa ceea ce trebuie utilizat e oleaca mai general: G este natural izomorf cu un produs direct de grupuri monogenerate, caz in care automorfismele si endomorfismele se obtin prin factorizare pe unul dintre aceste grupuri (sa zicem G₁), ceea ce produce un factor comun natural in anumite conditii (e.g. daca ord(G₁) e prim cu celelalte ordine, pentru orice auto/endo-morfism al lui G/G₁ putem crea alte auto/endo-morfisme ale lui G prin combinarea cu auto/endo-morfisme ale lui G₁, in numar usor de dedus). Detaliile solutiei sunt o chestiune de rutina care prezinta insa si cateva puncte care necesita atentie sporita. Un exemplu bun de examinat care elucideaza cum se petrec lucrurile ar fi Z₃xZ₅, apoi tratamentul se poate extinde usor si la alte cazuri.

Edited by mdionis, 14 March 2015 - 11:49.

 12_2015_subiecte.pdf   285.32K   34 downloads
Buna seara,
Am primit azi la olimpiada subiectul de mai sus.
Problema 3 am rezolvat-o in felul urmator: f continua => F(x)= integrala de la 0 la x din f(t) dt este derivabila, pentru orice x pozitiv.
Atunci derivand in raport cu x relatia data am obtinut f(x+y) <= f(x), pentru orice x,y pozitive. In particular, f (y) <= f(0), pentru orice y pozitiv. Dar f crescatoare => f(y)>= f(0), orice y pozitiv.
Deci f(y)=f(0) pentru orice y pozitiv => f constanta. Reciproc fucntiile constante verifica conditiile problemei.
Cu toate astea am primit un punct din 7. Ce e gresit?

Edited by danutz96, 14 March 2015 - 23:01.

danutz96, on 14 martie 2015 - 22:35, said:

Nu mi se pare nimic gresit. Poate ca persoana care a corectat s-a gandit la ipoteticul ambiguu al derivarii fata de x in integrala cu limita superioara x+y, sau poate ca avea in cap doar o rezolvare de alt gen, sa zicem prin reducere la absurd si cu niste vecinatati. Se poate face si contestatie.

O sa depun contestatie! Multumesc pentru raspuns, si eu cred ca a fost o eroare de corectare, mai ales in situatia in care problema nu imi era necunoscuta.
Rezolvarea din barem mi se pare mai complicata, ei nu folosesc derivate partiale, dar concluzia este aceeasi. Singurle functii care verifica conditia problemei sunt cele constante.
http://ssmr.ro/files...rem_clasa12.pdf

Edited by danutz96, 14 March 2015 - 23:22.

danutz96, on 14 martie 2015 - 23:06, said:

Scuze, am fost neatent si am spus o aiureala in mesajul precedent. Greseala este chiar derivarea prin derivare : daca ar fi fost vorba de o egalitate, se putea deriva si la stanga si la dreapta rezultatul ramanand inca valabil, insa acolo avem o inegalitate (fie ea si nestricta) care nu are de ce sa se conserve prin derivare (i.e. din F(x) <= G(x) nu rezulta automat F'(x) < G'(x) ).

Quote

Se putea asa cum am spus eu, cu integrala functiei de la x la x+y care ar fi mai mica sau egala cu integrala functiei de la 0 la y, in conditiile in care f e crescatoare: avem f(x+y) >= f(y) pentru orice y si deci inegalitatea trebuie sa se scrie int₀^y f(t) dt <= int₀^y f(x+t) dt = int_x^x+y f(z) dz, de unde avem in mod necesar egalitatea int₀^y f(t) dt = int_x^x+y f(t) dt. Apoi presupunem p.a. ca am avea pentru un t=t* intre 0 si y in care f(t*) < f(t*+x); din continuitatea lui f rezulta ca inegalitatea se pastreaza pentru o vecinatate a lui t*, (t*-eps,t*+eps). Descompunand integrala in trei parti, avem int₀^y f(t) dt = int₀^t*-eps f(t) dt + int_t*-eps^t*+eps f(t) dt + int_t*+eps^y f(t) dt , integralele extreme sunt <= decat cele translate cu x, in vreme ce integrala din mijloc este < decat int_x+t*-eps^x+t*+eps f(t) dt si rezulta o inegalitate stricta pentru integrale in contradictie cu cea din enunt, deci trebuie sa avem peste tot f(t*) = f(t*+x).

danutz96, on 16 februarie 2015 - 19:41, said:

Este fals.
De exemplu grupul G = Z2 x Z2 are 16 endomorfisme şi 6 automorfisme.
De altfel, contrar a ceea ce spunea cineva într-un post anterior, nici reciproca nu a adevarată: Z4 are 4 endomorfisme şi 2 automorfisme.