Probleme matematicã

rebroff, on 10 aprilie 2015 - 17:55, said:

Fireste ca nu e evident, altminteri la ce ar servi demonstratia?!

I. Lema: dat un patrat IJLK interior patratului ABCD care nu contine centrul acestuia O, exista un patrat congruent I₁J₁L₁K₁ interior lui ABCD si care are o latura continuta intr-o dreapta ce trece prin O.

Demonstratia contructiva este imediata: exista o paralela prin origine la laturile lui IJLK care nu intersecteaza patratelul (daca ambele paralele la IJ si JK intersecteaza patratelul IJLK, punctul O ar fi interior acestuia); patratul cautat este obtinut prin translatia lui IJLK pe aceasta dreapta (vezi figura).

 patratele_bis.jpg   52.76K   16 downloads

II. Presupunem ca exista un patrat de latura a interior lui ABCD si care nu contine centrul O; conform I., exista un patrat congruent de latura a pentru care punctul O se gaseste pe una dintre laturi. Fie insa m coeficientul angular al dreptei ce trece prin origine si contine latura patratului mic. Patratul maximal EFHG ce poate fi continut in jumatatea stramba din dreapta are latura b(m) = a*(m+1)*sqrt(m²+1)/(m²+m+1), iar aceasta functie atinge valoarea maxima pentru m = 0 (-> b(0) = a), deci patratul mic ar trebui sa aiba laturile paralele cu cel mare. Insa niciun patrat de latura a cu laturile paralele cu ale lui ABCD nu il poate avea pe O la exterior, il are cel mult ca varf sau pe una dintre laturi. Deci orice patrat de latura a interior lui ABCD contine in mod necesar centrul O -> oricare doua astfel de patrate au cel putin acest punct in comun.

 2patratele.jpg   91.9K   14 downloads

Fireste, exista si alte versiuni de demonstratie, aceasta era una relativ intuitiva.

Cine este m?

rebroff, on 10 aprilie 2015 - 22:38, said:

"Fie insa m coeficientul angular al dreptei ce trece prin origine si contine latura patratului mic."

Asadar panta lui LJ este -1/m. Cum ai ajuns la relatia b(m) = a*(m+1)*sqrt(m2+1)/(m2+m+1)?
Ideea e ca si eu am vrut sa folosesc geometria analitica, dar am ajuns la niste formule descurajante

rebroff, on 10 aprilie 2015 - 22:57, said:

Cu referire la desenul al doilea (pentru conformitate, a = 1): fie y = mx + n ecuatia dreptei EF. Latura EG este totodata si distanta intre dreapta EF si originea O -> |EG| = - n/sqrt(1+m²) (dupa niste calcule simple). Punctele E si F se obtin ca intersectii intre dreapta EF si dreptele x = 1 si y = -1 respectiv. Conditia de patrat cere ca |EF| = |EG|, ceea ce duce la o ecuatie pentru n, de unde n = - (m+1)(m²+1)/(m²+m+1) ; inlocuind in expresia de mai sus a lui |EG| rezulta formula respectiva.

Totusi cred ca-mi scapa ceva. Ai presupus ca exista un patrat de latura a interior lui ABCD si care nu contine centrul O.
Apoi l-ai translatat pana ce una din laturi a ajuns pe dreapta care contine originea, el devenind GEFH.
Dar in acest caz, E si F nu se afla pe laturile patratului mare.

rebroff, on 10 aprilie 2015 - 23:49, said:

Nu. Translatia se refera la I. (Lema), Am demonstrat la II. ca orice patrat construit pe o dreapta ce trece prin origine si cu celelalte doua varfuri pe laturile lui ABCD este mai mic decat patratul de latura a, cu exceptia cazului in care m = 0, caz in care patratul contine in mod obligatoriu originea. Deci nu exista patrate de latura a care sa nu contina originea.

mdionis, on 11 aprilie 2015 - 00:04, said:

La II ai ales un patrat DE LATURA a construit pe dreapta aia care trece prin origine.

rebroff, on 11 aprilie 2015 - 00:09, said:

Nu. La II am ales un patrat inscris construit pe dreapta si cu varfurile pe ABCD, care este in mod sigur mai mare sau egal cu orice patrat construit pe dreapta si interior patratului ABCD. Patratul inscris maximal (ca functie de m) are latura a insa nu exista patrat interior cu laturile paralele cu ABCD a.i. O sa nu fie continut in interiorul acestuia. Pentru orice m nenul, patratul inscris are latura inferioara lui a, deci orice patrat care nu contine originea si este interior lui ABCD are latura mai mica decat patratul inscris cu laturile paralele, adica mai mica decat a. Daca presupunem prin absurd ca exista un patrat de latura a intern lui ABCD, ce nu contine originea si nu are m = 0, ar rezulta ca latura lui e mai mica decat a -> contradictie -> nu exista.

Edited by mdionis, 11 April 2015 - 00:18.

Tu ai scris asa:
"Presupunem ca exista un patrat de latura a interior lui ABCD si care nu contine centrul O; conform I., exista un patrat congruent de latura a pentru care punctul O se gaseste pe una dintre laturi. Fie insa m coeficientul angular al dreptei ce trece prin origine si contine latura patratului mic. Patratul maximal EFHG ce poate fi continut in jumatatea stramba din dreapta are latura b(m) = a*(m+1)*sqrt(m2+1)/(m2+m+1), iar aceasta functie atinge valoarea maxima pentru m = 0 (-> b(0) = a), deci patratul mic ar trebui sa aiba laturile paralele cu cel mare. Insa niciun patrat de latura a cu laturile paralele cu ale lui ABCD nu il poate avea pe O la exterior, il are cel mult ca varf sau pe una dintre laturi. Deci orice patrat de latura a interior lui ABCD contine in mod necesar centrul O -> oricare doua astfel de patrate au cel putin acest punct in comun."
Care e rolul primei fraze? Putem scrie la fel de bine asa:
"Fie un patrat de latura a pentru care punctul O se gaseste pe una dintre laturi. Fie insa m coeficientul angular al dreptei ce trece prin origine si contine latura patratului mic. Patratul maximal EFHG ce poate fi continut in jumatatea stramba din dreapta are latura b(m) = a*(m+1)*sqrt(m2+1)/(m2+m+1), iar aceasta functie atinge valoarea maxima pentru m = 0 (-> b(0) = a), deci patratul mic ar trebui sa aiba laturile paralele cu cel mare. Insa niciun patrat de latura a cu laturile paralele cu ale lui ABCD nu il poate avea pe O la exterior, il are cel mult ca varf sau pe una dintre laturi. Deci orice patrat de latura a interior lui ABCD contine in mod necesar centrul O -> oricare doua astfel de patrate au cel putin acest punct in comun."

Edited by rebroff, 11 April 2015 - 00:38.

rebroff, on 11 aprilie 2015 - 00:32, said:

Rolul primei fraze este cel de a reduce discutia de la { patratele interioare lui ABCD } la { cele interioare si cu o latura continuta pe o dreapta trecand prin origine }, multime usor comparabila ulterior cu { patratul inscris, cu o latura pe dreapta trecand prin origine }. Eventual, de a propune ipoteza prin absurd care este ulterior contrazisa.
Prea multa vorbaraie totusi.

Aceasta vorbarie este pentru ca nu prind esenta demonstratiei tale, mi se pare ceva nu tocmai limpede. Dar daca te oboseste, OK, multumesc pentru rabdarea de pana acum.

rebroff, on 11 aprilie 2015 - 00:46, said:

Pai mie mi se pare ca am scris totui destul de limpede la II: "Patratul maximal EFHG ce poate fi continut in jumatatea stramba din dreapta [...]". "Maximal" nu inseamna "de latura a" ci este evident cel inscris.

Quote

Nu e vorba de oboseala ci de dispersivitatea explicatiilor repetate.

Nu are rost sa cautam solutii la probleme de teoria numerelor .( exista un rezultat care afirma ca ecuatiile diofantine oarecare nu au o metoda de rezolvare).
Si doar babeste cu calculatoarele ( doar ca sa le testam capacitatea de calcul) uneori ( de cele mai multe ori de fapt!) nu ajungem la nici un rezultat pozitiv.
Ce a fost candva cel mai mare numar prim cunoscut pana in prezent e azi..... un numar modest.Nota nu stim nici un numar prim de 100 de cifre.
Cineva amintea cartea tabele si formule matematice de rogai (editura tehnica 1984 acesta carte are numerele prime pana la zece mii ( sunt 1229 numere prime pana la 10000) si cartea aceasta are o eroare grosolana la pagina 137 la latura poligonului regulat trebuia din cate stiu sin de 180 pe n si nu 2r cos(π÷n), π radiani e egal cu 180 de grade sexagesimale,și cartea e cam veche deși are multe tabele prezinta mai mult ca sigur erori sau tipar sters ca plumbul nu rezista zeci de ani ( eu aș reface acesta carte cu calculatorul!   Și as include in ea tabele ale funcției repartiția normala și analiza numerica și aș expune-o gratis pe net ( nu pe scribd sau incomplect pe blog coparcea daca am tinut minte cum îi zice. Deasemenea la o ingalitate
la pagina 218 (ultima din pagina suma accea de tangente nu se vede daca e mai mica ( sau mai mare! Posed un exemplar sters de tot decât 0 sau 9) Este vorba de noua cu certitudine(graficul acestei sume de tangente sunt doua văni triunghiulare cu ce mai inferior punct noua ( cazul triunghiului echilateral)
Grafic facut cu mathematica10 sau wolfram alpha. )Pentru numere prime recomand walcav șierpinski ce stim si ce nu stim despe numerele prime.

@lovinf Cam multe inexactităţi în prima ta postare.
- Există metode de rezolvare pentru multe tipuri de ecuaţii diofantice. Ceea ce nu există este o metodă generală algoritmică. Situaţii similare apar în aproape toate ramurile matematicii!
- Cel mai mare număr prim cunoscut este imens (multe milioane de cifre). Caută "largest prime" cu Google.
- Cartea de formule Rogai&Rogai are o ediţie din 1996 şi conţine o sinteză bine făcută a matematicii de liceu. Tabelele sunt mai puţine.
De altfel astfel de tabele (logaritmi, numere prime etc) sunt astăzi cam inutile deoarece pe orice telefon cu Android poate fi instalat programul Maxima (gratuit) care calculează  orice (numeric & simbolic) şi produce grafice 2d/3d precum Mathematica sau Maple [nu la fel de performant totuşi].

Da cartea asta are și o reeditare ( frații rogai, mihai și elefterie Formule și tabele matematice editura tehnica am avut aceasta carte și
are totuși clasicul tabel de logaritmi intr-o vreme in care aveam și calculator știintific ( poreclite azi de birou! ) din clasa a vi -a ( aveam unul
Modest cu litere sterse din consignație si habar nu aveam ce rezultate da pana in clasa a Vii-a cand am pus mana pe manuale de
A zecea si carți de biblioteca și m-am lamurit imediat.Azi am 16 videouri pe youtube ( unul in care propun memorarea a 250 de valori
A cate cinci cifre pentru a fi Calculatori( nu ca euler! Cica asta facea calcule mintale cu 25 de cifre) ( lovin florin logaritmi pe youtube) și vreau
Sa zic ca cunosc Matematica(nu atât cât mi-aș dori da ceva studii nefinalizate de Matematica am nivel facultate) Și cred eu ca
E o știința care promite multe.Da prima lucrare de control din clasa 6 a a fost aflați radical de zece cu cinci zecimale exacte(3.16227 cred ).

Pentru cei care vor matematica cu calculatorul eu incurajez folosirea Sage, posibil si online, ca un fel de "gmail pentru matematica" : https://cloud.sagemath.com/

Am folosit cam tot ce exista si asta de-a lungul timpului, din anii '90 - Sage a ajuns de ceva timp intr-un punct in care chiar ai tot ce-ti trebuie (chiar pentru chestii foarte avansate). Nu vorbim de pret pentru ca probabil pentru multi romani e mai usor sa "faca rost" de Maple sau Mathematica decit sa instaleze Sage-ul total gratis si open-source (nu ruleaza nativ pe Windows, nu ca e o problema o masina virtuala in ziua de azi). Dar chiar si functional Sage-ul e preferabil, la Maple sau Mathematica te scarpini nu stiu cit sa gasesti structurile normale pentru a face un program mai complicat (din punct de vedere al programarii nu al functiilor matematice folosite), macar Sage e python si practic orice problema de programare ai avea e deja rezolvata de altii (intr-un mod standard si pe care daca il inveti o sa-ti foloseasca si altundeva nu numai intr-un program anume proprietar pe care nu-l foloseste aproape nimeni).

Pentru mdionis.
Uite o solutie elementara la problema cu patratul de latura a din patratul de latura 2a:
 Sol. elementara.jpg   10.1K   7 downloads
Aplici teorema sinusului in triunghiul AVG si obtii:
 AG.jpg   6.96K   7 downloads
Se arata apoi imediat ca aceasta expresie este mai mare sau egala cu asqrt2, ceea ce este imposibil, G aflandu-se intre A si O