Șansele de câștig din filmul 21

Prophecy, pe 29 octombrie 2023 - 00:04, a scris:

Da, eu chiar vorbesc serios fiindcă știu despre ce vorbesc, probabilitățile sunt un instrument matematic binecunoscut oricărui fizician decent. Dumneata ai idee despre ce vorbești?! nu de alta dar din ceea ce scrii pare că posezi cunoștințe extrem de superficiale despre acest subiect:

Citat

.

Vorbim despre o problemă banală de probabilități.
Iată o altă modalitate de a înțelege rezultatul: să zicem că inițial am ales ușa A. Într-o treime din cazuri, alegerea inițială este cea inspirată și premiul cel mare se află îndărătul ușii A. În două treimi din cazuri, alegerea este neinspirată și premiul cel mare se află îndărătul unei alte uși decât A(i.e. B sau C).
Bănuiesc că până aici suntem de acord.

Să observăm în trecere că alegerea inițială unei uși anume produce o partiție naturală obligată a mulțimii cazurilor în {premiul se află îndărătul ușii A} și {premiul nu se află îndărătul ușii A} = {premiul se află îndărătul ușii B sau îndărătul ușii C}.

Să zicem acum că scot limba la public. Cu ce influențează acest fapt situația alegerii? Răspuns evident: cu nimic. În continuare, într-o treime din cazuri premiul cel mare se află îndărătul ușii A, în două treimi din cazuri se află îndărătul uneia dintre ușile B sau C.

Să zicem acum că organizatorul jocului deschide o ușa dintre B și C și arată că premiul cel mare nu se găsește acolo. Cum schimbă această acțiune situația relativă la ușa A? În niciun fel: în continuare, într-o treime din cazuri premiul cel mare se află îndărătul ușii A. Dacă cumva încerci să susții contrariul, trebuie să explici prin ce mecanism misterios premiul cel mare își schimbă frecvența de apariție în spatele unei uși dacă deschid o altă ușă.

Întrebarea crucială este ce se întâmplă în mulțimea complementară definită de {premiul se află îndărătul ușii B sau îndărătul ușii C}. Ceea ce se petrece este că primim o informație suplimentară care nu era disponibilă inițial, și anume că {premiul nu se află îndărătul ușii B sau C deschise}. Această informație nu poate schimba concluzia inițială cum că în două treimi din cazuri, premiul cel mare se află îndărătul unei alte uși decât cea aleasă inițial: cazurile sunt tot aceleași, dar am aflat că în spatele unei alte uși decât cea aleasă inițial de mine nu se premiul căutat. Asimetria între ușa rămasă nedeschisă dintre B și C și ușa A provine din caracterul obligat al deschiderii ușii necâștigătoare în două treimi din cazuri, în această situație alegerea ușii de deschis este determinist condiționată de alegerea mea inițială. Dat fiind că, după deschiderea ușii necâștigătoare știu că premiul nu se găsește acolo, cele două treimi din cazuri se regăsesc în mod necesar pe a treia ușă, cea nealeasă și nedeschisă. Orice altă variantă interpretativă ar face să dispară cazuri în neant.

În alte cuvinte: să zicem că, dacă am ales inspirat ușa A, organizatorul alege la intâmplare o ușă de deschis dintre B și C. Atunci:
- dintr-o treime din cazuri în care premiul se află îndărătul ușii A, într-o șesime deschide B și în altă șesime deschide C.
- în treimea din cazuri în care premiul se află îndărătul ușii B, organizatorul deschide cu necesitate C
- în treimea din cazuri în care premiul se află îndărătul ușii C, organizatorul deschide cu necesitate B.

În jumătate din cazuri (1/3 + 1/6 = 1/2), organizatorul va deschide ușa B și în cealaltă jumătate din cazuri va deschide ușa C.

Dacă organizatorul deschide ușa B (în jumătate din totalul de cazuri, 1/2), în două treimi din jumătatea cazurilor corespunzătoare (1/3 este 2/3 din 1/2) premiul se va afla îndărătul ușii C și intr-o treime din numărul cazurilor corespunzătoare (1/6 este 1/3 din 1/2) se va îndărătul ușii A.

Analog, dacă organizatorul deschide ușa C (în cealaltă jumătate din totalul de cazuri, 1/2), în două treimi din jumătatea cazurilor corespunzătoare premiul se va afla îndărătul ușii B și intr-o treime din numărul cazurilor corespunzătoare se va îndărătul ușii A.

În ambele ipoteze de mai sus, strategia cu șanse mai mari de reușită este cea corespunzătoare numărului mai mare de cazuri favorabile și constă în schimbarea alegerii făcute inițial.
_______________________________________________

Care este eroarea sistematică pe care o comiți dumneata? (și nu numai)
Există două modalități practice de a ajunge la noțiunea de probabilitate: una o definește ca limită a frecvențelor de apariție a unui eveniment atunci când numărul de experimente similare tinde la infinit, cealaltă este probabilitatea apriorică asociată unui set de evenimente despre care nu avem motive întemeiate să bănuim că vreunul este mai special decât celelalte. De exemplu, dacă aruncăm în aer o monedă, nu avem motive speciale să bănuim că o anume față ar trebui să apară mai des: dacă excludem varianta Margelatu (moneda cade pe muchie și rămâne așa), aparițiile oricăreia dintre cele două fețe sunt evenimente echiprobabile de probabilitate 1/2 (a căror sumă face 1 pentru închidere). La fel, la un zar cubic nemăsluit fiecare față are aceeași probabilitate de apariție deci fiecare față are probabilitatea de apariție apriorică 1/6.
Așadar putem calcula probabilitatea teoretică de tip aprioric ca (număr de cazuri favorabile)/(număr total de cazuri) doar dacă avem motive întemeniate să bănuim că acele cazuri la care ne referim sunt echiprobabile. Dacă avem motive întemeiate să afirmăm că niște cazuri/posibilități nu sunt echiprobabile, un astfel de calcul nu va furniza un rezultat corect.

Dumneata judeci în felul următor: „la sfârșit avem oricum de făcut o alegere între două posibilități nesigure, deci suntem 50%-50% fiindcă se poate verifica oricare dintre ele”. Un astfel de raționament este greșit întrucât ignoră faptul că informația acumulată pe parcurs produce o asimetrie între cele două posibilități rămase la sfârșitul jocului care nu mai pot fi echiprobabile. Deci nu e și nu poate fi 1/2 pentru fiecare ci două valori diferite între ele a căror sumă face bineînțeles 1.

Citat

Sigur că da. Cu ce schimbă aceasta rezultatul problemei? Strategia de joc optimală (cea a schimbării alegerii) nu garantează câștigul, într-o treime din cazuri va da chix, însă în două treimi din cazuri va aduce rezultatul dorit. Dat fiind că 2/3 e mai mare decât 1/3, alegerea rațională care maximizează șansele de câștig (fără a aduce certitudinea acestuia) este cea a schimbării alegerii inițiale.

Editat de mdionis, 29 octombrie 2023 - 02:34.

Ok, ok, suntem pe un forum, nu stiam ca este necesară/dorită o adresare mai protocolară.

Informația suplimentara nu afectează doar a doua mulțime, cea formată din usile B și C, afectează si prima mulțime, usa A.

Dpmdv este greșit să consideri ca probabilitatea A ramane tot de 1/3 iar C sa ajunga la 2/3, doar pt faptul ca B s a dovedit a fi necastigator.
Sansele de câștig se repartizează uniform.

Prophecy, pe 29 octombrie 2023 - 08:22, a scris:

Hai sa incercam un experiment
Iei trei carti de joc  un popa K, un 5 si un 7
K va fi masina, iar 5 si 7 caprele
Amesteci bine cartile si le pui pe masa de la stanga la dreapta cu fata in jos

Prima carte din stanga va fi intotdeauna optiunea ta - jucatorul care nu schimba optiunea initiala
Urmatoarele doua carti le ridici cu fata in sus, din aceste doua carti alegi un 5 sau un 7 si il dai deoparte. Cartea descoperita ramasa va fi optiunea jucatorului care schimba la fiecare joc
Ulterior descoperi si prima carte din stanga.

Pe o foaie A4 pui doua coloane in stanga jucatorul care nu schimba optiunea si in dreapta jucatorul care schimba optiunea
cel care nimereste un K primeste un 1, iar cel care nimereste un 5 sau 7 primeste un 0

Repeti jocul de 50 de ori si faci totalurile pentru fiecare

Pe masura ce o sa repeti jocul vei realiza ca stanga joaca intotdeauna cu 1 carte din 3, iar dreapta (cel care schimba) joaca cu 2 carti din 3

Aceeasi eroare de logică.
Vei observa ca K va fi raspandit in proporție de 33% intre stanga, dreapta si mijloc, deci e irelevant ca ti schimbi optiunea.

Prophecy, pe 29 octombrie 2023 - 09:03, a scris:

Eu am facut deja experimentul dar in excel, am descris in postarea asta una din modalitatile prin care se poate face
https://forum.softpe...4#entry30350290
din 42 de jocuri am luat 17 masini pastrand optiunea initiala si 25 schimband optiunea

Incearca si tu varianta de care ziceam cu cartile de joc, ca sa te convingi

Prophecy, pe 29 octombrie 2023 - 00:46, a scris:

Pai ăștia sunt aceeași cu aia de la punctul 3.
Soluția a fost data, e o logica foarte simpla, fii-miu de clasa a 6a o înțelege. N-ai nevoie din cine știe ce IQ sa înțelegi ca prin schimbarea ușii inversezi evenimentul câștigător cu cel necâștigător. Dar pentru orice eventualitate gasesti solutia peste tot, e plin Internetul.
Deci care e motivul prelungirii discuțieisi cine trăncăne ca sa se afle in treaba?

Editat de vrajitoruldinoz, 29 octombrie 2023 - 09:33.

Prophecy, pe 29 octombrie 2023 - 00:04, a scris:

Doar că nu-i asa. Fa calculele și te vei convinge, lasă intuiția. Pune mana pe pix și calculează.

Tine cont ca alegerea moderatorului nu este una aleatoare. E una care tine cont și de alegerea ta inițială, și de poziția premiului.

Ce pix, ce sa faci cu pixul?

Dacă alegi o usa necâștigătoare si o inversezi, câștigi. Deci ușile necâștigătoare devin câștigătoare, și viceversa. Adică probabilitatea de câștig este acum probabilitatea de a alege o usa necâștigătoare, 66%%. Ce pix?

Omul e blocat în ideea ca odata ramase doua uși probabilitatea e 50%, adică nu contează daca schimba sau nu alegerea.
Dacă pune mâna pe pix își poate da singur seama pe parcurs ca opțiunea cealaltă (schimbatul alegerii) nu-i una aleatoare.

Prophecy, pe 29 octombrie 2023 - 08:22, a scris:

Nu are cum.

Citat

OK, am înțeles sursa subtilă a erorii de analiză pe care o comiți. Probabil că și prima mea explicație să fi fost prea telegrafică.

Am să încep cu o expunere cu numere, ușor de urmărit și fără a vorbi de probabilități.

Să presupunem că repetăm jocul de N = 600 de ori.

În N_A = 200 cazuri, premiul se va găsi îndărătul ușii A (situația S_A).
În N_B = 200 cazuri, premiul se va găsi îndărătul ușii B (situația S_B).
În N_C = 200 cazuri, premiul se va găsi îndărătul ușii C (situația S_C).

Să presupunem că aleg ușa A. Organizatorul jocului poate alege să deschidă ori B, ori C.

Dacă mă aflu în situația S_A, organizatorul jocului alege la întâmplare să deschidă una dintre ușile B sau C.
În această situație ușa B va fi deschisă în N_AB = 100 cazuri (situația S_AB), iar ușa C va fi deschisă în N_AC = 100 cazuri (situația S_AC).

Dacă mă aflu în situația S_B, organizatorul jocului va deschide cu necesitate ușa C (N_BB = 0, N_BC = N_B = 200).
Dacă mă aflu în situația S_C, organizatorul jocului va deschide cu necesitate ușa B (N_CC = 0, N_CB = N_C = 200).
________________________________

Din perspectiva mea (cea a jucătorului interesat) știu că am ales ușa A iar organizatorul a deschis una anume dintre ușile B sau C.
Ușa B este dechisă în situația SAB în N_AB = 100 de cazuri sau în situația S_C în N_CB = N_C = 200 cazuri. Așadar dacă ușa deschisă este B avem un total de N_AB + N_CB = 300 cazuri compatibile (jumătate din total) și în această ipoteză, premiul se află în 100 de cazuri îndărătul ușii alese inițial și în 200 de cazuri îndărătul ușii C.
Analog, ușa C este dechisă în situația S_AC în N_AC = 100 de cazuri sau în situația S_B în N_BC = N_B = 200 cazuri. Așadar dacă ușa deschisă este C avem un total de N_AC + N_BC = 300 cazuri compatibile (cealaltă jumătate din total) și în această ipoteză, premiul se află în 100 de cazuri îndărătul ușii alese inițial și în 200 de cazuri îndărătul ușii B.
În ambele situații finale (aleg ușa A, organizatorul deschide ușa B sau ușa C), schimbarea ușii pentru alegerea definitivă rezultă a fi alegerea optimală.

________________________________

Acum să revenim la raționamentul dumitale.
El se aplică foarte bine dacă problema sună așa: „Organizatorul deschide o ușă și arată că premiul nu este acolo. Pe care dintre cele două uși rămase o alegi?” Evident, în această situație (în care eu nu am făcut o alegere inițială), cele două uși rămase sunt perfect echivalente, nu există motive speciale să o preferăm pe una în detrimentul celeilalte. În acest caz ne aflăm în situația tipică a probabilităților apriorice deci cele două uși rămase nedeschise au fiecare o probabilitate asociată de 1/2 de a ascunde premiul cel mare.
Însă problema propusă aici are o alegere inițială. Această alegere afectează informația disponibilă în mod subtil. Dacă eu am ales ușa A, deschiderea unei alte uși anume de către organizator selecționează fix jumătate din cazurile inițial posibile.
Dacă deschide B atunci ne aflăm ori în situația S_AC ori în situația S_C însă cele două situații compatibile nu sunt caracterizate de numere similare de cazuri, nu sunt echiprobabile.
Analog, dacă deschide C atunci ne aflăm ori în situația S_AB ori în situația S_B însă nici aceste două situații compatibile nu sunt caracterizate de numere similare de cazuri, nu sunt echiprobabile.
Sunt echiprobabile S_A, S_B și S_C , dar informația dată prin deschiderea uneia dintre uși înjumătățește numărul subcazurilor S_A compatibile cu această informație suplimentară pentru că în mod necesar vor rămâne doar S_AB ori doar S_AC.

Pentru Profecy.

Tu alegi o usa din 3 la intamplare.
Prezentatorului ii raman 2 usi din 3 in care sa fie masina.

Prezentatorul cand iti arata tie capra, intotdeauna lasa masina deoparte.

Cu alte cuvinte, daca in variantele alea de 2/3 de care prezentatorul dispune de a avea masina, el intotdeauna o lasa deoparte, daca ii pica lui.
Cu alte cuvinte, daca schimbi, tu vei juca cu sansele prezentatorului de 2/3. Pentru ca in locul ala prezentatorul a pus automat masina, aratandu-ti capra. Deci daca lui i-a picat masina, tu o castigi 100% daca schimbi. Daca tie ti-a picat masina, o pierzi 100% daca schimbi. Problema e ca el joaca cu 2/3, tu doar cu 1/3.

Editat de maccip, 29 octombrie 2023 - 18:12.

@maccip si @mdionis

Eu am spus deja chestia asta :

"Nu ma napustesc de loc, elimin subiectivitatea si presupun ca nu se triseaza"

Asta presupune ca nici moderatorul nu stie ce se afla in spatele fiecărei usi, de la premisa asta plec, de aici calculez probabilitatile initiale si apoi pe cele dupa eliminarea unui usi.

Faptul ca moderatorul cunoaste ce se află in spatele fiecarei usi viciaza rezultatul, dar tot nu sunt de acord ca usa C va avea 2/3 sanse.

Tu alegi usa A, sub ea se afla premiul. Moderatorul deschide B, iar tu alegi C si in felul asta pierzi, desi ai fi castigat dacă nu ti ai fi schimbat alegerea.
Ai fost manipulat, pur si simplu.

Cum ar putea sa fie jucat jocul asta fără sa știe moderatorul ce e in spate? Premiza e proasta de la început. Dar asta chiar nu schimba rezultatul deloc, pentru ca condiția e sa deschidă usa fără premiu.

Foarte bine poate sa fie jucat, nu te mai umfla atat in pene.

Topicul este pe probleme de matematică, nu pe cazinouri sau jocuri de noroc.

Ba, premisa fiind ca nici moderatorul nu cunoaște nimic, se schimbă absolut totul.
Intreaba l pe cel de 6 ani, să te lămurească...

Ba tocmai ca schimba: cu prima alegere, ai 33% sanse de castig si 66% sanse sa pierzi. Imparte jocul in aceste 2 procente: 33% (sa zicem grupa A) ale tale si 66% (grupa B). Ca sa iti maresti sansele si sa alegi din grupa B, ar trebui sa deschizi 2 usi. Moderatorul exact cu asta te ajuta, iti deschide o usa necastigatoare din grupa B, aia cu 66%. Daca alegi sa schimbi, de fapt alegi din grupa cu procentul mai mare de castig,
Pentru "o data in viata" poate n-are nici o importanta dar matematic, vei castiga de mai multe ori daca schimbi.

Editat de sorin147, 29 octombrie 2023 - 23:35.

Doamne, cum sa spun ca să înțelegeți ???

Moderatorul deschide o usa, habar nu are ce e in spatele ei, poate fi premiul acolo...

Nu e nevoie da spui nimic ca sa înțeleg noi ce e in devla ta.sincer, nu avem nici un interes.

Prophecy, pe 29 octombrie 2023 - 23:49, a scris:

Nu conteaza pana la urma daca stie sau nu stie.
Poti repeta de N ori experimentul si sa elimini variantele in care moderatorul a ales din intamplare masina si judeci pe celelalte ramase.
O sa-ti dea tot 33-66%

Problema e alta. Noi aici judecam in termeni de premiu-nonpremiu, pentru ca in aceste doua categorii plasam ceea ce ti-a aratat moderatorul.
Si problema e ca, de fapt lucrurile stau asa, doar la nivel semantic. In realitate, moderatorul ti-a aratat o capra, o anumita capra. Daca elimini variantele in care moderatorul ti-a aratat o masina si cealalta capra, lucrurile ies altfel.

Problema e cand repeti experimentul, sa afli probabilitatea sa zicem statistic. Aici apare o variabila. Cum repeti? Lumea o sa zica ca moderatorul poate sa-ti arate o singura capra, dar chestia asta e una conventionala, stabilita dupa intelegerea canonica umana,  Ca-i cpra, ca nu conteaza care dintre ele, deoarece se raporteaza la cele doua categorii capra-masina. Problema e ca impartirea pe aceste categorii, care sa arate cum anume trebuie repetat experimentul, este o impartire artificiala.

Cand ti se spune problema, ai tendinta sa judeci in termeni de notiuni, capra-masina. Insa cand ti se intampla, nici nu trebuie, ai acolo 3 obiecte distincte si le poti trata in rationament ca si cum nu ar fi impartite in categorii. Masina capra vulture, sau zicem. Moderatorul ti-a aratat o capra (sau vulture) si tu cand repeti experimentul, retii doar cazurile care s-au intamplat, adica ti-a aratat capra., nu vulturele, nu masina. In acest caz iesi 50-50.


Dar altfel, daca moderatorul nu stia undei masina, cat timp retinem pentru conditionare doar experimentele in care ti-a aratat capra, oricare capra, iese tot 33-66.