Metafizica calculului infinitezimal (Guenon)

Salut,

Mai jos se gaseste un topic despre derivate care m-a starnit sa il deschid pe-asta.

Este vorba despre o carte scrisa de filozoful ezoterist Rene Guenon. (De fapt asta a facut facultatea de matematica la Paris in tinerete, deci intelege cum e si cu matematica, nu numai cu filozofia.)
In cartea asta Guenon ia la bani marunti teoria calculului infinitezimal a lui Leibniz.
Este ceea ce in zilele noastre este cunoscut sub numele de "analiza matematica", si adesea se confunda cu notiunea de "matematica" insasi.

Ca sa clarificam de la inceput, Guenon nu urmareste sa demoleze calculul infinitezimal, ci din contra sa il puna la locul lui, si sa clarifice anumite aspecte pe care Leibniz le-a lasat neclare din diverse motive.
Deci nu vorbim de tembelisme parastiintifice ci de stiinta pe bune.


Intai un citat din Prefata cartii, care sa va incite sa o cititi:
"According to Guenon, the concept 'infinite number' is a contradiction in terms. Infinity is a metaphysical concept at a higher level of reality than that of quantity, where all that can be expressed is the indefinite, not the infinite. But although quantity is the only level recognized by modern science, the numbers that express it also possess qualities, their quantitative aspect being merely their outer husk. Our reliance today on a mathematics of approximation and probability only further conceals the 'qualitative mathematics' of the ancient world, which comes to us most directly through the Pythagorean-Platonic tradition."

Deci, cateva concluzii personale, dupa lectura acestei carti:
0. Pe vremea lui Leibniz matematica inca nu se rupsese de metafizica. Leibniz tine cont in formularea teoriei lui de principii metafizice.
0'. 0 nu este numar, "infinit" si "minus infinit" nu sunt nici ele numere.
1. Clarifica foarte bine notiunea de infinit. Care asa cum este folosit in matematica este de fapt "indefinit", intrucat "infinit" este o notiune mai larga care cuprinde "tot", deci nu i se pate atribui o cantitate numerica.
2. Clarifica cum este cu numerele naturale, intregi si rationale. (Nu atinge insa numerele imaginare...) Adica explica cum au aparut ele si care este semnificatia lor. Semnificatia unui numar este si cantitativa dar si calitativa. Sau era pe vremea cand se stia asta. Acum se foloseste doar partea cantitativa a numerelor.
3. Explica ce e aia o trecere la limita, o derivata si o integrala.
4. Clarifica faptul ca metoda infinitezimala este o simpla metoda de aproximatie si nimic mai mult. Daca aritmetica era legata de geometrie, deci numerelor le era asociat un "obiect" real, in metoda infinitezimala numerele au numai semnificatie cantitativa, fiind descarcate de orice asociere cu o realitate imediata. Apoi a urmat statistica, unde aproximatia este si mai grosiera, iar numerele devin procente, pierzandu-si chiar si semnificatia cantitativa. (ultimul comentariu imi apartine complet, nu scrie in cartea asta despre statistica.)
5. Metoda infinitezimala a lui Leibniz nu este singura pe segmentul asta de probleme, in epoca mai existau si alte metode concurente. Se pare ca metoda lui Leibniz a castigat razboiul cu timpul...
6. Metoda infinitezimala este fara indoiala foarte utila in rezolvarea unor probleme reale, dar nu trebuie confundata cu realitatea insasi, ci este o simpla aproximare aplicabila intr-o clasa restransa de probleme.

si
7. La facultatile de matematica, fizica, si chiar cele de inginerie, ar trebui sa existe in primul an un curs de 1 an in care sa se studieze opera lui Leibniz. Asta ar clarifica multe neintelegeri din mintile viitorilor savanti ai lumii...

Lectura placuta: https://arcaneknowle...malcalculus.pdf

aaa. si inca ceva.
3'. dupa ce citesti cartea asta, intelegi pe bune ce este cu tabelul ala de "cazuri de indeterminare la limita" pe care il inveti pe dinafara in calsa a 11, si apoi il iei ca atare toata viata, dar pe care nu ti-l explica niciun profesor pe bune (pentru ca nici ei nu stiu, la randul lor le-au invatat pe dinafara fara sa inteleaga). adica intelegi de unde vin ele.
de exemplu: "infinit pe infinit", sau "zero pe zero" sau "infinit minus infinit" etc. (cel mai spectaculos mi se pare "unu la infinit" )

toate astea se explica foarte usor odata ce ai inteles notiunile de "infinit" si "zero" in sensul in care le foloseste Leibniz.

si inca un aspect interesant:

8. In cartea asta mai da citate din corespondenta pe care Leibniz o purta cu alti savanti ai vremii sale (de ex cu Bernouli avea o corespondenta foarte aprinsa si fructuoasa). Din citatele astea se observa ca la vremea aia inca se luau foarte in serios cand vorbeau de metafizica. Adicatelea matematica moderna are totusi niste fundatii in scolastica medievala. Fundatii care sunt astazi complet ignorate, spre nenorocul nostru.

De fapt este de remarcat cum au evoluat lucrurile:
un om invatat in antichitate si ev-mediu se numea filozof. la inceputul epocii moderne se numea "filozof si matematician" (Leibniz, Pascal, Bernouli etc) (De exemplu daca te uiti pe wikipedia la opera lui Leibniz, cam jumate dintre publicatiile lui trateaza subiecte fara legatura cu ceea ce numim astazi "stiinta".)
prin secolul 19 si 20, se numau simplu "matematicieni".
acum se numesc "oameni de stiinta in stiinte cantitative".

asta arata foarte clar cum a evoluat mentalitatea stiintifica. la inceput aspectele "calitative" si "cantitative" formau impreuna ""stiinta". iar incet, incet au divortat, pentru ca in zilele noastre "stiinta" sa fie considerat numai aspectul "cantitativ" al existentei.

Edited by Pollux, 25 August 2015 - 14:54.

Analiza matematică, analiza complexă, ecuațiile diferențiale, ecuațiile cu derivate parțiale, teoria măsurii ș.a. au legătură și cu geometria și cu algebra. Poți folosi o integrală pentru a calcula o arie, de exemplu.

-∞, +∞ nu sunt numere dar 0 este număr.

Cu numerele naturale, întregi, raționale,  și complexe s-a clarificat ce e cu ele în clasele 5-8.

Matematica modernă se poate construi și este construită plecând de la un set de axiome, nu de la noțiuni vagi, aproximative și metafizică. Vezi Hilbert și Nicholas Bourbaki.

neur0, on 25 august 2015 - 14:57, said:

Numerele complexe se studiaza in clasa a 10-a.

neur0, on 25 august 2015 - 14:57, said:

Si axiomele alea cum sunt alese daca nu in mod metafizic ? Daca ai fi citit ceva de fundamentele matematicii, ai fi vazut ce se cearta intre ei matematicienii ca unora li se pare ca o axioma e buna, altora li se pare ca nu e. Totul se reduce in cele din urma la intuitie. Iar acolo lucrurile devin nebuloase.

neur0, on 25 august 2015 - 14:57, said:

analiza matematica nu are legatura intrinseca cu geometria. este o metoda de calcul pe care o aplici pentru a aproxima niste elemente de geometrie.
dar nu sunt intrinsec legate.

neur0, on 25 august 2015 - 14:57, said:

"zero" nu este un numar, din acelasi motiv ca si "infinit" si "minus infinit": nu exprima o cantitate. un numar trebuie sa exprime o cantitate, asta este definitia lui.
"zero" inseamna "nicio cantitate". deci "nicio cantitate" nu poate fi "o cantitate".

sigur, in calculele practice, asta are mai putina importanta.

neur0, on 25 august 2015 - 14:57, said:

nu s-a clarificat nimic. sunt introduse si folosite ca atare. de fapt ar fi imposibil de explicat la varsta aia niste notiuni atat de grele.

Abc2001ro, on 25 august 2015 - 15:02, said:

in zilele noastre se reduce la intuitie pentru ca nu mai exista mai nimeni care sa aiba educatie scolastica.
dar, asa cum am vazut in cartea asta, Leibniz si Bernouli intelegeau binisor principiile metafizice universale. De acolo pleaca axiomele in matematica.

Un aspect interesant:
Leibniz interpreta principiul universal al continuitatii in sens absolut. Adica el nu accepta ca pot exista si fenomene discontinue. Asta i-a dat o gramada de batai de cap in explicarea riguroasa a unor cazuri particulare de calcul infinitezimal. Pentru ca, in mod evident, in natura exista fenomene discontinue: de exemplu cand intinzi o coarda, la un moment dar se rupe - ceea ce constitutie o discontinuitate. (exemplu preluat tot de la Guenon.)

Edited by Pollux, 25 August 2015 - 15:10.

Pollux, on 25 august 2015 - 15:07, said:

Metafizica e o aiureala. E singura parte din filozofie din care simt ca nu ma aleg cu nimic dupa ce o citesc. Practic nu se bazeaza pe nimic. Iti faci cruce cand citesti toate nastrusniciile alea.

Abc2001ro, on 25 august 2015 - 15:11, said:

si totusi fondatorii stiintei moderne o luau foarte in serios...
(zic fondatorii stiintei moderne, pentru ca in zilele noastre cam tot ce este considerat stiinta trebuie sa poata fi modelat printr-un set de ecuatii integro-diferentiale - adica exact calculul infinitezimal inventat de Leibniz)

anyway, nu vreau sa imping in directia aia discutia. pentru ca nu ma pricep la metazifica.
dar mi s-a parut interesant sa aflu ca savantii astia pe care se bazeaza toata stiinta moderna luau foarte in serios principiile metafizice.
de fapt Leibniz facea parte dintr-un ordin initiatic numit "Rosecrucieni".
https://en.wikipedia.../Rosicrucianism

Edited by Pollux, 25 August 2015 - 15:16.

tangential cu topicul asta:

cand eram la Paris, profesorul ne-a dat la un seminar un model matematic pe baza caruia sa calculam singurei, in banca, un regulator prin moduri glisante.
eu am fost crescut si educat in Romania 90% din timp.
stateam in banca cu o gagica frantuzoaica crescuta in scoala franceza de matematica.
deci, revenind la seminar, imi amintesc ca la un moment dat gagica m-a intrebat: "Ai terminat, Pollux?" - ea terminase intre timp exercitiul, iar eu m-am trezit din visare si mi-am dat seama ca nici nu ma apucasem de calculul efectiv. pentru ca eram prea ocupat sa filozofez in capul meu asupra frumusetii si simplitatii metodei de a gasi o suprafata de glisare si de a da impulsuri scurte sistemului astfel incat sa "gliseze" pe aceasta suprafata, dar si sa inteleg care este semnificatia functiei Liapunov.

in mod evident ea a terminat facultatea cu rezultate mult mai bune decat mine.


vreau sa spun cu asta ca in zilele noastre se pune accent pe viteza de calcul, chiar daca intelegerea notiunilor este deficitara.

(este asemanator cu ce face orice meserias in uzina: important pentru un muncitor este sa produca bucse cat mai multe in timp cat mai scurt si de calitate uniforma (aka productivitatea muncii), nu intereseaza pe nimeni daca intelege fizica din spatele procesului de aschiere.)

oh, God...

da, cand a aparut calculul infinitezimal nu avea fundamente riguroase. abia prin secolul XIX niste oameni foarte destepti au pus bazele analizei asa cum o stim astazi, bazandu-se pe munca de secole a predecesorilor. cam asa functioneaza matematica/stiinta in general, "stand pe umeii gigantilor". daca vrei sa inveti analiza pe bune, citesti Rudin sau ceva de genul. pentru calcul diferential/integral Spivak sau Apostol prezinta abordari destul de riguroase, sau Stewart daca esti inginer daca vrei sa inveti analiza "non-standard", poti incepe sa citesti despre https://en.wikipedia...yperreal_number , e si o carte ce prezinta o abordare riguroasa si corect dpdv matematic folosind infinitezimale.

newbie13, on 25 august 2015 - 16:33, said:

interesanta treaba cu numerele hiper-reale.

Guenon obiecteaza la fundamentele calculului infinitezimal in sensul folosirii neadecvate a unor termeni, atata tot.
de exemplu termenul de "infinit". "infinitul" logic si metafizic este un termen care desemneaza tot ce poate exista, in toate modurile de existenta. deci nu are o valoare cantitativa (desi include toate valorile cantitative), si nici nu pot exista "mai multe infinituri".
pentru ca daca ar exista mai multe, atunci fiecare dintre ele ar fi limitat de altul, deci nu ar mai include "tot", deci nu ar mai fi "infinit".

el sugereaza ca termenul corect de folosit in calculul infinitezimal ar fi "indefinit". pentru ca intr-adevar cand treci la limita argumentul tinde la o valoare care este considerata nesemnificativ de mica (sau extrem de mare) in comparatie cu totalul, adica o cantitate "indefinita".

la fel, ridica obiectii vis-a-vis de "zero", care nu este o cantitate, deci un numar.

prin urmare, aceleasi obiectii pot fi ridicate la tot ce s-a dezvoltat de la Leibniz incoace.

pe scurt, el nu contesta metoda in sine, ci doar comenteaza semnificatia ei in raport cu realitatea.

cat priveste numerele hyperreale, nu am auzit de ele pana acum. (sunt inginer, nu matematician.)
pare interesant. o sa citesc un pic sa vad ce le poate piele, la ce sunt utile, si daca au vreo semnificatie in raport cu realitatea.

edit: vad pe wikipedia ca exista si numere "suprareale" (surreal).

Edited by Pollux, 25 August 2015 - 20:27.

Orice punct de pe axa numerelor reale este un număr. 0 este un punct pe axa numerelor reale -> 0 este un număr.

Dacă te interesează filozofia din spatele matematicii și legătura dintre ele, îți recomand cărțile lui Bertrand Russell, matematician important și filozof. Aici explică ce este un număr prin prisma filozofiei, logicii și teoriei mulțimilor: http://people.umass....p.html#chapter2

neur0, on 26 august 2015 - 08:35, said:

orice numar pe axa numerelor reale este un numar pentru ca vrei tu (sau alti filozofi/matematicieni) sa definiti ca atare "axa numerelor reale".
dar fara notiunea asta, lucrurile sunt mai complicate.
pe vremea lui Leibniz, si inainte de el, nu se opera cu notiunea asta.

pan la aLeibniz, "1" este "unitatea", "the number", "centrul universului". pentru ca 1 contine in el toata informatia.
imagineaza-ti ca ai o axa pe care lucrurile evolueaza de la "nimic" la "tot".
prin "nimic", se intelege nimicul absolut, existential. iar prin "tot", opusul, adica infinitul, adica tot ce poate exista, in orice mod de existenta - Absolutul.

so, daca am face o axa de la "nimic" la "tot", atunci "1" ar fi in "centrul" acestei axe. 1 contine in el toata informatia necesara ca sa te duci catre "tot" sau catre "nimic".
catre "tot" te poti duci adaugand succesiv la unitate, cate o unitate. 1+1+1+1+...
catre nimic te poti duce divizand succesiv unitatea cu opusul ca distanta inspre infinit. adica 1/1, 1/2, 1/3, ..., 1/... pana ajungi la vidul existential, adica la 0.
dar in realitate nu poti ajunge niciodata la vidul existential, nu poti anula "totul".
( faptul ca poti scrie 1,5 sau 2,5, sau 3457,478, nu inseamna decat ca ai transpus axa asta la alt ordin de marime, adunand unitati la partea intreaga. dar in esenta este acelasi lucru.)

deci, in viziunea asta, axa numerelor este de la "zero" la "infinit".
in epoca moderna axa reala este de la "minus infinit" la "plus infinit". dar in realitate minusul ala nu are decat rolul practic de a indica faptul ca te deplasezi in sens opus fata de sensul de referinta pe care ti l-ai ales (adica l-ai ales tu, cu mintea ta de om dupa necesitatile tale practice).
dar in mod real, independent de conventiile umane, numerele negative nu au nicio semnificatie, pentru ca dincolo de "zero", adica de vidul existential absolut, nu poti sa spui ca mai exista ceva, pentru ca intri in contradictie cu notiunea de "vid existential absolut" - nu poti sa spui ca exista ceva acolo unde nu exista nimic.

Edited by Pollux, 26 August 2015 - 09:14.

Pollux, on 26 august 2015 - 09:12, said:

În mod real: dacă iei salariul ai + 1000 € în cont. Dacă împrumuți bani de la bancă ai -1000 €. Dacă îți intră salariul după ce ai împrumutat 1000 €, vei avea 0 euro. Dacă acceptăm noțiunea de origine, are și mai mult sens. Vidul are sens dpdv matematic doar când ne referim la Ø - mulțimea vidă, altfel 0 este un număr, un element al unei mulțimi, element neutru pentro operații, punct de pe axă, punct dintr-un spațiu oarecare. Din punct de vedere al realității obiective, "vid existențial absolut" nu prea există, fizicienii speculează că și înainte de "Big Bang" ar fi existat ceva.

Pollux, on 26 august 2015 - 09:12, said:

Dar ceea ce e interesant la natura e ca intr-adevar exista cantitati negative. Electronul are sarcina -1.

neur0, on 26 august 2015 - 09:34, said:

eu stiu ce incerci tu sa spui.
inteleg matematica de gradinita...


sper doar ca si tu sa intelegi ca pe langa judecata relativista mai exista si un alt fel de judecata, in termeni absoluti.

in mod REAL, daca am salariu 1000 de euro, sau ii iau imprumut din banca, inseamna ca 1000 de euro au preexistat actiunii mele de a lua salariu. compania mea, sau banca, aveau cate 1000 de euro undeva, ca sa poata sa mi-i dea mie.
eu nu puteam sa imi iau salariul ceva ce nu exista. (in orice caz, nu as accepta situatia. )

Abc2001ro, on 26 august 2015 - 09:40, said:

are sarcina -1 pentru ca uitandu-te la el, si comaprandu-l cu protonul observi ca au comportamente antagoniste.
prin urmare este mai usor sa ii atribui CONVENTIONAL sarcina "-1", decat sa scrii un tratat metafizic despre cum electronul si protonul se comporta diferit. din ratiuni practice. "minusul" descrie doar un comportament antagonist in raport cu alt obiect cu care faci comparatia.

nu exista "cantiate negativa".
electronul are o masa de 9.109534 x 10^−31 kg. deci o cantitate, nici macar nu poti sa ii zici "pozitiva", ci pur si simplu o cantitate de materie masurabila. nu poate sa existe cantitate negativa...
electronul are o sarcina electrica de 1.602176565(35)×10−19 C. deci tot o cantitate. se noteaza conventional cu -1,602... pentru a indica faptul ca este opusa sarcinii protonului. dar sarcina este o cantitate, in termeni absoluti.
de-aia a si fost introdusa in matematica notiunea de "valoare ABSOLUTA" (modul). adica valoarea aia care exista in mod obiectiv, dincolo de convetia de semn pe care o face unul sau altul in mod arbitrar...

faptul ca este o conventie este evident: daca ai zice ca protonul are sarcina -1 si electronul +1, toata teoria campului electromagnetic ar sta in picioare, dar ti-ar da rezultatele cu semn schimbat. iar semnul poti sa il intepretezi dupa cum te aranjeaza... este in mintea ta, nu in realitatea obiectiva. (naturii putin ii pasa daca electronul are sarcina +1 sau -1.)

Edited by Pollux, 26 August 2015 - 10:11.

Pollux, on 26 august 2015 - 09:44, said:

Banii există prin convenție, nu în termeni absoluți. În comuna primitivă n-ai fi păcălit pe nimeni să-ți dea o ciozvârtă din mamutul vânat de el promițându-i că-i dai niște euroi.

neur0, on 26 august 2015 - 09:59, said:

exactly my point.

asta spune si Guenon in cartea sa.

matematica contemporana este una conventionala, serveste numai la a face comparatii intre cantitati de chestii pe care omul le considera utile in viata sa.
matematica, asa cum o intelegeau filozofii antici si scolasticii medievali, servea nu numai la a face comparatii intre cantitati ci aceste cantitati trebuiau sa fie in corespondenta cu o realitate, un mod de existenta.


prin asta Guenon, (si nici eu), nu zice ca matematica contemporana este gresita, sau este o prostie. (ar fi o prostie sa zica cineva asa ceva. )
pur si simplu este o chestie utila, dar care trebuie inteleasa ca ceea ce este pentru a nu aparea confuzii si "ne-intelegeri" ale realitatii.
(cum este confuzia facuta mai sus de Abc2001ro, spre exemplu.)

Edited by Pollux, 26 August 2015 - 10:06.

apropo de "ne-intelegeri" sau "non-intelegeri",  mai zice Guenon o chestie interesanta in cartea asta. (fara legatura cu matematica neaparat. teoria asta nu ii apartine, se pare ca este acceptata de multi filozofi.)

ideile sunt de 3 tipuri:
1. idei adevarate: adica idei care pot fi confirmate exact, prin observatii asupra realitatii. "atomul de heliu are un proton si un electron"
2. idei gresite, sau false: adica idei care pot fi confirmate partial de realitate. "toate merele sunt rosii." ("este fals, pentru ca intr-adevar merele exista si au culoare, dar nu toate sunt rosii, ci numai unele.")
3. non-idei. adica idei care nu au nicio legatura cu realitatea, aberatii logice. "el-chupacabra are sarcina electrica de 2."

Edited by Pollux, 26 August 2015 - 10:32.