Problema probabilitati 6 bile

Salut, se dă următoarea problemă:

Într-o urnă se află 6 bile de dimensiuni identice, notate A,B,C,D,E,F.
Se extrag simultan 2 bile din urnă.
Care este probabilitatea să fie extrasă bila A?

Ideea mea de calcul: P(A) = 1/6 + 1/5 = 11/30 = 36.6%

Vă rog să-mi spuneți dacă calculul de mai sus este corect, sau dacă nu, care este metoda corectă?

33.3%

E 1/6 + 1/6, nu 1/6 + 1/5...

Tu ai tras 2 bile o data defapt ar fi 2/6=1/3=33.3%

 RaduGL, on 23 ianuarie 2023 - 16:13, said:

Si eu zic tot ca Mirel. Înțeleg raționamentul tău însă formula trebuie corectata. Termenul al doilea e 1/5 x 5/6 (aka o cincime din șansele de 5/6 ca bila A sa nu fie deja extrasa prima).

Edited by KiloW, 23 January 2023 - 16:26.

Interesant.
Aveam o oarecare bănuială că extragerea simultană a bilelor afectează calculul meu.

Probabilitatea este 5/15 = 33.33%.

Sunt 15 combinații posibile de extrageri simultane de 2 bile, și doar 5 extrageri simultane de 2 bile unde una din bile este A.

Mie rezultatul lui @mirel3003 mi se pare corect dar nu este argumentat.

Logica mea ar fi asa:

• A extrage 2 bile simultan este exact acelasi lucru cu a le extrage pe rand FARA a o pune la loc pe cea extrasa prima.
  
• In acest caz variantele castigatoare se impart in 2 categorii disjuncte: cele in care extragi bila A prima, si cele in care o extragi a doua.
  
• Probabilitatea sa o extragi prima: 1/6 sa o alegi pe ea din 6 bile × 5/5 sa extragi a doua oara orice altceva = 1/6
  
• Probabilitatea sa o extragi a doua: 5/6 sa nu o alegi pe ea prima × 1/5 sa o extragi din cele 5 ramase (intre care este si A ca urmare a primei extrageri) = 1/6
  
• Probabilitatea finala, cele 2 multimi fiind disjuncte: 1/6 + 1/6 = 1/3

Edited by sags, 23 January 2023 - 16:34.

Bila A  va fi extrasa simultan cu alta bila in  5 cazuri , mai exact N-1 unde N este numarul total de bile.  Asadar numarul cazurilor favirabile este N-1= 6-1=5.
Numarul cazurilor existente este " combinari de 6 luate cate 2" = 15.
Probabilitatea ca bila A sa fie intr-o pereche de bile este : nr cazurilor favorabile  / nr cazurilor existente = 5/15= 1/3=0,(33) °/°
Scuze :  probabilitatea este de 1/3   sau  " 33, 3  la suta

Edited by bleujandarm, 23 January 2023 - 16:39.

Indiferent ca extragi pe rand sau in acelasi timp cele doua bile, probabilitatea ca una sa fie A nu se schimba pentru ca nu le cunosti. Nu ai tras cu ochiul la cele extrase. Deci e 2/6=0.(3) sau 33.33%. Dupa calculul tau probabilitatea ca a cincea bila sa fie A e peste 95%.
Daca cunosti fiecare bila extrasa si A nu se afla in cele extrase atunci 1 se imparte la bilele ramase, dar aici nu e cazul, ca sa stii care e probabilitatea ca A sa fie la urmatoarea extragere.

@sags te complici si nu mai intelege nimeni.

Edited by Leo2006, 23 January 2023 - 17:22.

Mulțumesc tavitu, sags și bleujandarm pentru explicațiile detaliate, m-am lămurit acum!

Edited by RaduGL, 23 January 2023 - 18:52.

daca se extrag simultan doua bile, practic cele 6 bile se impart in 3 pachete de cate 2 bile fiecare.
apoi se pune problema care este probabilitatea sa extragi pachetul care contine si bila A? fiind trei pachete, din care doar unul contine bila A, 1/3 = 0.33%!

Salut!
Tu ai trei perechi de bile dintre care doar una este câștigătoare.
Deci, la o extragere a unei perechi din trei ai probabilitate de succes de 1/3 = 0.(3) = 33.(3)%

 strongsss, on 23 ianuarie 2023 - 18:57, said:

Da, raționament bun, doar eroare de scriere, că 1/3 e echivalent 33% probabilitate.

Edited by wertyck, 23 January 2023 - 19:04.

Daca

a(b) + b© +c(d) + d(e) + e(f) = a +b( c)  + c(d) + d(e) + e(f)
rezulta ca:
a, b, c, d, e, f sunt numere intregi care fac parte dintr-un intreg 'x' (urna)
Sa presupunem ca forma urnei este cilindrica:
a, b, c, d, e, f = ab + bc+ de+ ef , adica:
x(a+b+c+d+e+f) = x * a+b+c+d+e+f  -- si in final
x * ab+bc+de+ef = x * abcdef (adunate) = abcdef : x  (impartit la x) =  31.23%

Asta in cazul in care urna cilindrica este statica. Daca e in miscare (de rotatie) iti explic si pentru aia daca doresti.

Edited by Zark, 23 January 2023 - 21:05.

Cand rezolvi o problema de tipul asta, trebuie sa ai in vedere 2+1 chestii:
1. Evenimentele disjuncte isi aduna probabilitatile
2. Evenimentele independente isi inmultesc probabilitatile. (cu un asterisc aici pe care nu-l voi aduce in discutie decat daca e observat)
3. Legea probabilitatilor conditionate, acolo unde un eveniment conditioneaza alt eveniment. (cu acelasi asterisc)

Acestea fiind sculele de baza pentru analizarea unei astfel de probleme, nu ramane decat sa te gandesti ce anume consideri ca ar trebui sa fie un eveniment. O alegere "isteata" a ce inseamna eveniment, poate salva multa munca.

In cazul de fata, putem considera eveniment, extragerea a doua bile simultan. Adica, nu a unei bile ci direct doua. Numarul total de evenimente va fi Comb(2, 6)=15. Numarul favorabil de evenimente va fi 5 (sunt 5 combinatii posibile care contin bila A). Si rezultatul iese direct. 5/15., prin aplicarea proprietatii de definitie.


Daca consideram extragerea unei bine ca fiind un eveniment, te complici oarecum. Uneori e necesara, dar aici nu.
Indiferent ca bilele sunt extrase simultan sau pe rand, nu conteaza. Insa.. problema e ca extragerea celei de-a doua bile nu e independenta de extragerea primei bile. Extragerea a doua e conditionata de prima, pentru ca evenimentele nu sunt nici disjuncte sa le aduni direct.
Probabilitatea va fi egala cu cea de a extrage A din prima + cea de a extrage A din a doua. Probabilitatea de a extrage A din a doua fiind conditionata de a nu extrage A din prima P=5/6) A doua extragere are 1/5 sanse, insa e conditionata de acei 5/6 de a nu extrage A din prima.
Probabilitatea ca sa extragi A din prima sau A din a doua, reprezonta evenimente disjunctre(nu se pot intampla simultan), deci le putem aduna astfel:
p= (1/6) +  (5/6) * (1/5)


Deci, raspunsul cel mai "curat" e dat daca consideri ca fiind eveniment extragerea a doua bile. Acolo unde e posibil, simplifica mult rezultatul si nu mai e nevoie de compunerea (atenta) a probabilitatilor din probabilitatilor evenimentelor mai "simplu definite".
Raspunsul corect e dat de @ tavitu.
Ar putea fi si al lui *mirel, insa nu putem aduna asa 1/6 cu 1/6 decat daca explicam ce reprezinta al doilea 1/6, pentru ca nu e deloc probabilitatea de extragere a unei bile, cum se poate intelege. Ci e probabilitatea de extragere unei a doua bile 1//5, conditionata de probabilitatea ca prima bila sa nu fie A, 5.6.

Un pic despre cele doua asteriscuri. Dat fiind ca evenimentul e definit abstract ca fiind o multime, rationamentul de mai sus, nu e chiar "vegan" 100%, deoarece evenimentele independente sau dependente de care vorbeam ca se compun prin inmultire, schimba spatiul de evenimente. Nu-i 100% vegan, dar poate fi inlocuit cu unul vegan, care face acelasi lucru, insa nu are aceiasi forta calorica, deci trebuie mai multa salata in castron, mai mult argument care in final face acelasi lucru cu un numar mai mare de argumente. Dar numai pentru vegani. PEntru cei care mai servesc si carne, merge si oleaca de simplificare, sa mearga treaba mai repede.

(n-am citit chiar toate posturile, posibil sa fie si alte corect explicate)

Ah.. mai exista si un mod pidosnic de a considera evenimentul care descrie probabilitatea de a extrage A din prima bila n. Evenimentul fericit reprezentand bila care extrage A, nu extragerea lui A insusu.
E cumva pidosnic deoarece e mai greu de definit verbal. Si cum semnificatia conceptelor trebuie judecata cu o poveste in spate, se poate ajunge usor la confucie. In unele cazuri e si asta o solutie salvatoare e multa munca, insa trebuie mare atentie si aceasta abordare necesita mai mult veganism.
In acest caz, extragerea bilei A din prima e disjuncta de extragerea bilei A din a doua. (adica nu poate fi si una si alta)  Fiind probabilitati disjuncte, le poti aduna. Deci ar fi si varianta lui @mirel corecta, daca ar veni cu un asemenea setup al ideii de eveniment.

Prin considerarea in acest fel a spatiului de evenimente, extragerea bilei A din prima sau a doua devine echivalenta cu extragerea din prima a bilei A  sau B.
Pentru ca in prima tura consideram bila (prima, adoua, a treia, etc)  ca fiind evenimentul, in a doua litera (A, B, C, etc). Mai subtil, dar merge si asa.
Dar cum in intelegerea "canonica" consideram eveniment numarul care a picat pe zar, nu zarul pe care a picat numarul, e necesara o explicatie suplimentara a rationamentului.

Am inteles.
Dacă bilele s-ar fi extras pe rând (fără a se reintroduce în urnă) era ok formula mea de calcul: P= 1/6 + 1/5

Dar fiindcă extragerea se face simultan, avem P= (1/6) +  (5/6) * (1/5)

Îmi place și explicația cu 5/15 = 1/3

Dar daca avem 3 bile, A,A,B . Se extrage A. Urmatoarea bila cat va avea probabilitatea ca sa fie B ? 1/3 sau 1/2 ?

1/2.

Probabilitatea ca următoarea bilă extrasă să fie B dacă prima bilă extrasă este A este 1/2.

Când am extras prima bilă, am schimbat universul, dintr-un univers unde erau 3 bile, fiecare cu probabilitatea 1/3, într-un univers cu doar două bile, fiecare cu probabilitate 1/2.

Notă: Nu ai intrebat care este probabilitatea ca să extragi A și apoi B, ci care este probabilitatea ca să extragi B dacă deja ai extras A, sunt două întrebări diferite, cu probabilități diferite.

 RaduGL, on 24 ianuarie 2023 - 00:04, said:

Nu.

 sags, on 23 ianuarie 2023 - 16:33, said:

 maccip, on 23 ianuarie 2023 - 22:55, said: