Problema probabilitati 6 bile

RaduGL, on 24 ianuarie 2023 - 00:04, said:

In cazul de fata, nu conteaza deloc daca bilele sunt extrase pe rand sau simultan. Si in majoritatea cazurilor nu conteaza. Atunci cand in urna ai o multime numarabila de obiecte, nu conteaza.

Pentru ca, extragerea simultana de bile e echivalenta cu 1/2 din extragere bila 1 apoi 2 + 1/2 extragere bila 2 apoi 1. Chestiile astea snt identice, deoarece bilele sunt indistinctibile in acest context.
Pentru a face bilele sa fie distinctibile, e nevoie de un setup mai complicat.
Precedenta temporara in acest caz poate fi ignorata. In acest caz si in toate cazurile "clasice", unde elementele din urna sunt niste obiecte. Ar putea face o diferenta in cazuri mult mai ciudate, cum ar fi sistemele cuantice. Acolo trebuie mai mare grija, in rest nu conteaza.

"Extragerea simultana" e echivalenta cu "Extragi o bila si inca o bila" in toate cazurile obisnuite. Iar cazurile neobisnuite sunt mindfuck de greu de descris in cuvinte sau matematic.

Deci nu ar trebui sa faci distinctie intre "extrag doua bile" si "extrag o bila si inca una". Simultanietatea aici (si aproape peste tot) nu joaca niciun rol.

Handicarpati, on 24 ianuarie 2023 - 10:32, said:

1/2, intotdeauna.
Spun intotdeauna pentru ca exista o problema celebra (monty pithon), care, enuntata usor modificat, introduce in plus o ambiguitate subtila in care raspunsul poate sa difere functie de modul de intelegere.

Aici e 1/2 intotdeauna deoarece povestea (factuala a) extragerii primei bile A, induce o rezolvare partiala a sistemului in care practic raman doar doua bile A si B, cu sanse egale de a fi extrase.
Se poate trata prin rezolvarea partiala a sistemului, rezultant fara ambiguitate un nou sistem care se analizeaza de sine statator.
Sau, folosind regula lui Bayes a probabilitatilor conditionate. Rezultatul e acelasi.

O chestiune interesanta pe care eu o iau in calcul cand lucrez cu probabilitati:

Probabilitatile pot reprezenta evenimente care s-au intamplat, dar al caror rezultat nu il cunoastem
Probabilitatile pot reprezenta evenimente care nu s-au intamplat inca.

Insa, cand ai o situatie in care ai ambele chestiuni amestecate, trebuie aplicata regula lui Bayes, de regula. Poate ca ar fi fost mai bine sa se fi denumit diferit probabilitatile lucrurilor intamplate si necunoscute decat probabilitatile lucrurilor care nu s-au intamplat. Ele separat pot fi exprimate prin calculul probabillistic, insa combinatia celor doua introduce o chestiune noua, din alta categorie a logicii. Trebuie intrat in semantica, pentru a da raspunsul corect. Vor incepe sa conteze unele chestiuni precum indistinctibilitatea, relatia cauza-efect vs o relatie de cuplaj intre cele doua aspecte.
Uneori rezolvarea sta intr-o interpretare conventionala, alteori nu exista sau nu e clara aceasta interpretare conventionala.

Eu asa gandesc si nu e obligatoriu, insa sigur trebuie un pic de atentie in rezolvarea unor probleme de tipul asta. Regula lui Bayes se aplica de regula. Insa exista situatiii in care formularea problemei poate sa necesite o "preprocesare" inainte de a  aplica regula lui Bayes. Si aceasta influenteaza rezultatul. Asa gandesc eu, pentru a fi sigur ca-mi aduc aminte cand aplic Bayes sa fiu atent la semantica. Pentru ca in rest, nu=i nevoie. Poti face calcule fara sa te gandesti la semantica.

In cazul cu cele 3 bile A,A,B. Se extrag 2 bile. Care e probabilitatea ca a doua bila sa fie A ? Dar B ?

Raspuns 1. A = 0.66667%
   2. B = 0.33333%
Daca extrag pe rand toate cele 3 bile, care e probabilitatea ca a treia sa fie A? Dar B ?

Probabilitatea se schimba ?
Dar daca cunosc ce bila am extras prima, se schimba probabilitatea pentru a doua bila ?

E ca la cazino, daca stii sa le numeri ai sanse mai mari de castig.

Edited by Leo2006, 24 January 2023 - 16:30.

Probabilitatea ca a doua bila sa fie A, e aceiasi cu probabilitatea ca prima bila sa fie A sau ca a treia bila. Nu se schimba nimic.

Nici daca conditionezi rezultatul de ce s-a extras la prima bila (daca nu stii rezultatul), tot ala e.
Adica:
- daca la prima bila s-a extras A(cu p=2/3 sanse), probabilitatea de a extrage A la a doua bila e 1/2
- daca la prima bila nu s-a extras A(cu p=1/3 sanse) , probabilitatea de a extrage A la a doua bila e 1/1=100%.

Daca sumam (legea probabilitatii totale, evenimente disjuncte), avem
P2(A) = P1(A) * P2(A | 1=A)  + P1(B) * P2(A | 1=B)=
P= 2/3 * 1/2 + 1/3 * 1/1 = 2/3

La fel se intampla si la bila a 3a, daca incerci sa conditionezi de rezultatul necunoscut al extragerii bilelor anterioare, folosind succesiv legea probabilitatii totale.
P3(A) = P1(A) * [  P2(A | 1=A) * P3(A | 1=A, 2=A)  + P2(B | 1=A) * P3(A) | 1=A, 2=B)  ]    +   P1(B) *  [  P2(A | 1=B) * P3(A | 1=B,  2=A)  + P2(B | 1=B) * P3(A) | 1=B, 2=B) ]
= 2/3 *  [  1/2  * 0  +  1/2  *  1  ]   +    1/3  *  [  1 * 1  +  0 * ? ]  = 2/3

Exact. Probabilitatea ramane aceiasi cat timp rezultatul extragerilor ramane necunoscut.

Numai matematicieni pe aici. In loc sa va chinuiti atat, v-am dat eu o solutie foarte simpla atata timp cat cilindrul nu se invarte.

Nu e rau să învățăm matematica la orice vârstă:

Regula lui Bayes este o regulă matematică care se bazează pe probabilitate și permite actualizarea probabilităților în funcție de noi informații sau observații. Aceasta se numește "regula lui Bayes" după statisticianul englez Thomas Bayes, care a descris-o pentru prima dată în secolul al XVIII-lea.

Regula lui Bayes este exprimată matematic prin formula:

P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)

unde:

P(A|B) este probabilitatea evenimentului A, dată faptul că s-a produs evenimentul B;
P(B|A) este probabilitatea evenimentului B, dată faptul că s-a produs evenimentul A;
P(A) este probabilitatea evenimentului A, independent de evenimentul B;
P(B) este probabilitatea evenimentului B, independent de evenimentul A.
Aceasta regulă este utilizată în diverse domenii, cum ar fi statistică, inteligență artificială și cibernetică, pentru a actualiza probabilitățile în funcție de noile informații sau observații.

Nu o știam, dar am căutat acum informații despre ea.

Frumos ce s-a scris pe aici. Nu știu dacă aduc vreun plus valoare, dar îmi exprim si eu umila părere în speranța că reușesc să exemplific cum ar trebui sa gândească logic copiii începând chiar cu vârste fragede.

Evenimentul de a extrage doua bile "simultan" este de fapt identic cu a extrage pe rand cele doua bile, fara sa te uiți la prima înainte de a o extrage pe a doua.

Haideți să discutăm cazurile exact ca atunci când le vorbim, când le gândim logic și să aplicăm formulele pentru probabilități corelate cu logica matematica.

1. Dacă am extrage "pe rand" cele doua bile, in sensul de "nesimultan", asta ar însemna de fapt că o vedem pe prima și apoi, in fct de ce bila este prima, o extragem pe a doua. In acest caz cum formulăm?

Prima bila extrasa poate sa fie A: probabilitate 1/6. In acest caz ne oprim și nu mai este necesară extragerea celei de a doua bile, pentru că evenimentul dorit s-au întâmplat.
SAU
Dacă prima bila nu este bila A, atunci extragem a doua bila. Acum cate bile avem? 5 bile, si știm sigur că bila A este printre cele 5 bile pe teu că am văzut-o pe prima și nu era A. Deci probabilitatea sa extragem A este 1/5.

Adică am extras bila A din prima, SAU prima bila nu a fost A (asta este o tautologie pt că ne-am uitat la bila și am văzut că nu este A) SI am extras A din a doua încercare.
Așadar probabilitatea va fi 1/6(când prima estrasa este A +(asta este SAU) 1(acea tautologie după ce am văzut că prima nu este A)*(asta este acel SI)1/5 (prob sa fie a doua bila extrasa A din cele 5 rămase) =1/6+1/5.

2. Extragerea "simultană" înseamnă de fapt extragerea celor doua bile, pe rand, fara sa o vedem pe prima înainte de a o extrage pe a doua. Adică e ca și cum extragi una legat la ochi și mai extragi obligatoriu încă una, chiar daca prima era deja A pentru că așa ți se spune sa faci.
Sa formulăm aici logic și gramatical:

Bila A poate sa fie prima bila SI nu este a doua (aceasta a doua propoziție este o tautologie, pt că, evident că dacă e prima, atunci nu mai poate fi a doua, exista o singura bila A).
SAU
Prima bila nu este A SI a doua bila este A.
Sa le legam prin formule
1/6 (prob sa fie prima bila A) *(acel SI de la prima parte) 1 (acea tautologie) + (acel SAU) 5/6 (prima bila nu este A) *(acel SI din a doua parte) 1/5 (prob că a doua extrasa sa fie A din cele 5 rămase).
Prob=1/6*1 + 5/6*1/5 =1/6+1/6.

Deci între cele două cazuri mari nu este vorba despre simultaneitate in sensul cuantic, așa cum a zis și maccip ci despre diferența dintre a extrage pe rand, într-un caz când știi/vezi ce ai extras prima data și atunci când nu știi/vezi ce ao extras prima data. Pentru că, atunci când vezi ce ai extras prima data, te poți opri daca rezultatul este cel dorit.

Evident, tot ce am.scris aici reprezintă practic o demonstrație pe caz concret a probabilităților condiționate etc.
Pentru că, așa cum toate operațiile aritmetice pot fi aduse la forma de baza rudimentară a aritmeticii lui Peano, la fel și orice formula logica sau probabilistică complicata, poate fi adusă la forma de baza folosind propoziții simple, conjuncția, disjuncția, negatia, valorile de adevăr 1 și 0, formula elementară a probabilității unui eveniment etc. Până și implicația p->q probabil știți că are formula logica (not p) sau (q).

The_Cult, on 26 ianuarie 2023 - 17:28, said:

Probablitatea va fi și in acest caz 1/6 + 5/6*1/5 = 2/6 = 1/3.

Quote

Nu este corect, probabilitea ca prima bilă extrasă să nu fie A, este de 5/6. Probabilitatea respectivă este stabilită apriori, înainte să aflăm dacă bila extrasă extrasă este A sau nu.

De fapt, mai sus m-am referit la regula probabilitatilor conditionate. Am scris gresit despre Bayes. E si Bayes, dar nu apare la genul asta de probleme.

The_Cult, on 26 ianuarie 2023 - 17:28, said:

Nu ai cum sa le aduni, deoarece cele doua probabilitati descriu spatii de evenimente diferite. Primul spatiul de evenimente are 6 posibile, al doilea 5.
Poti sa le aduni daca evenimentele sunt disjuncte si apartin aceluiasi spatiu. Adica, poti aduna probabilitatea sa iasa A cu probabilitatea sa iasa B, la aceiasi bila.
Spatiul al doilea de evenimente insa e conditionat de prima extragere.

wertyck, on 25 ianuarie 2023 - 18:41, said:

Merita sapata aceasta regula, deoarece, doar ea singura genereaza o intreaga ramura separata a statisticii. Statistica Bayesiana, care seamana cu statistica obisnuita, insa se aplica pe alte cazuri, rapsunde la altfel de intrebari mai interesante si mai putin intuitive, dar paradoxal mai mult importante pentru un cetatean obisnuit.
Privita din perspectiva statisticii clasice, regula lui Bayes calculeaza P(A | B) functie de P(B |A)
Insa din perspectiva bayesiana, regula produce un update la cunostintele anterioare (prior) si este regula dupa care functioneaza si euristica umana. Dar merita sapat aici deoarece aceasta e legea care face conexiunea intre doua interpretari diferite ale conceptului de probabilitate. Si, paradoxal, asta-i legea statisticii pe care o folosim cel mai mult si avem cea mai mare nevoie de ea in procesul de judecata asupra lumii inconjuratoare.
Alaturi de ce inseamna relevanta unui test statistic, regula lui bayes privita din pesectiva bayesiana e lucrul de care are nevoie orice om in viata pentru a judeca cat de cat corect ce vede in jur.  Majoritatea argumentelor de tip statistic cad sub incidenta celor doua chestii.
Statistica clasica e mai mult pentru gambleri.
Nu vorbesc de calculat aici, ci de modul de judecata, de cablarea creierului pe un anumit tip de judecata.

Edited by maccip, 27 January 2023 - 02:28.

@maccip

Pot fi adunate, explicația este puțin mai complexă, dar rezultatul final este același. Aici practic putem considera doua urne, una care conține bila A și încă 5 bile, și o a doua urna care conține bila A și încă 4 bile. A doua urna este "disponibila" abia după ce din prima urna nu s-au extras bila A.Deci știm sigur că acea bila este în a doua urna și cele două evenimente, daca exista amândouă, sunt independente. Al doilea nu exista deloc daca prima bila extrasa este deja A. Știu, este puțin mai greu de imaginat dar sunt sigur că ai înțeles.
Astfel P(A reunit B) = P(A)+P(B)-P(A inters B) pentru că A și B sunt independente.
P(A) prima extrasa din prima urna este 1/6
P(B) bila extrasa din a doua urna este 1/5
P(A inters B) este 0 pentru că avem doar o bila A, nu mai multe, prin urmare nu putem avea ambele A. Dealtfel, daca prima ar fi A, al doilea eveniment nici nu ar mai exista pentru că nu ar mai exista spațiul lui de probabilitate.
Prin urmare P(A reunit B) rămâne 1/6+1/5-0.

Ca sa fie inteles mai bine, experimentul poate fi urmatorul:

- Uite, ai 2 urne. Trage o bila din urna asta.
- Pai si a doua urna unde este?
- Nu iti trebuie acum, nu ti-o arat acum.
-Ok, am tras bila.
-Este bila A? (*)

-Da.
-Ok, nu iti mai dau a doua urna, ca nu mai conteaza, ai tras deja ce trebuia.

Revenim la (*)
-Nu.
-Ok, uite a doua urna. Si i-o pun pe aceeasi, dar oleaca mai la dreapta. Pentru el este o alta urna care contine bila A si inca 4 bile, deci spatiul de probabilitate este pe deplin cunoscut. Trage o bila.
-Ok, am tras.
-Este A?
..............

-

Edited by The_Cult, 28 January 2023 - 23:08.

Tocmai că NU sunt independente!

Quote

Dacă rezultatul unui eveniment (care bilă a fost extrasă prima dată, A sau non A) afectează cea ce credem depre (probabilitatea) alt(ui) eveniment (ce bilă urmează să fie extrasă - nici o bilă dacă deja a fost extrasă A, oricare dintre cele 5 bile rămase dacă prima bilă a fost non A) vorbim de evenimente dependente, nu independente.

Pentru astfel de probleme e bine să se recurgă şi la o simulare simplă, de exemplu, în Python:

import random
s=0
n=100000
for r in range(1, n + 1):
    if random.randint(1,6) == 1:
    s = s + 1
    continue
    if random.randint(1,5) == 1:
    s = s + 1
print(s / n)    # 0.33265

Se confirmă imediat probabilitatea  1/3.