Probleme matematică

Si unde scrie ca functia e continua?

Reformulez: concluzia ca functia e continua e gresita.

Edited by f300, 18 March 2014 - 12:11.

Funcția f are limite finite în orice punct c din [a,b], deci limita = f( c ), de unde f este continuă.
Am completat mesajul de mai sus.

Edited by namespace, 18 March 2014 - 12:21.

 f300, on 18 martie 2014 - 12:10, said:

Iata si contraexemplul cel mai interesant aici: a = -1, b = 1, f(1/n) = 1/n pentru n in N^* si f(x) = 0 in rest. f nu este continua in 1/n insa are limita in orice punct al sau.

 namespace, on 18 martie 2014 - 12:21, said:

Concluzia nu rezulta de nicaieri.

Edited by mdionis, 18 March 2014 - 12:26.

Orice functie continua cu una dintre valori modificata e un contraexemplu in sensul asta.

 namespace, on 18 martie 2014 - 12:21, said:

Doar implicatia inversa e corecta daca e continua are limita finita dar invers nu e valabil.

In enunt este vorba despre limite laterale finite in orice punct.

E o extindere a problemelor fct continue pe portiuni.
Pentru restrangere demonstrati ca o fct f continua pe un int [p,q] mai putin un pct c din [p,q] dar cu limite laterale finite in c este integrabila pe [p,q].
Apoi [a,b] poate fi scris ca o reuniune nenumarabila de intervale de forma de mai sus.
Asta e prima idee care mi-a venit in minte.

Edited by vidmaker, 18 March 2014 - 14:15.

am si eu ceva interesant : Demonstrati ca, daca se construiesc triunghiuri echilaterale în exterior (sau in interior) pe laturile unui triunghi oarecare, atunci centrele lor sunt varfurile unui triunghi echilateral, astept cele mai neconventionale rezolvari

Edited by takemeintoyourskin, 18 March 2014 - 14:20.

 Xenon2006, on 18 martie 2014 - 14:00, said:

În acest caz se validează ceea ce am scris mai sus: f continuă pe [a,b].

 mdionis, on 18 martie 2014 - 12:23, said:

Vă referiți mai exact la funcția f:[-1,1]→ℝ, f(x) = 1/x, pentru x nenul și f(x) = 0 în rest?
Dacă da, atunci avem limitele laterale în 0 diferite și infinite, ceea ce contrazice enunțul.

- nu, NU se "valideaza" f continua
- f(x) =1/x nu e totuna cu f(1/n)=1/n (care are evident limita 0 in 0).

f e continua intr-un pct daca si numai daca limitele laterale in acel punct exista, sunt finite si egale

Incorect, functia e continua daca limitele sint egale cu valoarea functiei in punctul respectiv (si implicit si intre ele si finite).

Și eu ce am scris? Din ce spune enunțul, se demonstrează că f este continuă, cu oricare punct c în [a,b] să avem f_s( c ) = f_d( c ) = f( c ) finite.

Edited by namespace, 18 March 2014 - 15:18.

correct f300, multumesc de completare

f:[0,1]->R, f(x) = 1 dc  0 <= x < 0.5 si f(x) =  2 dc 0.5 < x <= 1, f(0.5) = 3; are limite laterale finite in 0.5? da; e continua in 0.5? nu f_s(0.5) = 1, f_d(0.5) = 2, f(0.5) = 3

 namespace, on 18 martie 2014 - 15:16, said:

Cum "se demonstreaza" ca f(c ) e egal cu restul?

Edited by f300, 18 March 2014 - 15:44.

 Xenon2006, on 18 martie 2014 - 15:24, said:

Știm că dacă f este continuă pe [a,b] cu excepția unui număr finit de puncte de discontinuitate de speța I, atunci f este integrabilă pe [a,b].

Pe [0,1/2) și (1/2,1], funcția este constantă, deci continuă, iar în punctul x₀ = 1/2, avem discontinuitate de prima speță, deci, conform celor de mai sus, f este integrabilă pe [0,1].

Edited by namespace, 18 March 2014 - 15:58.

Bravos, tocmai ai facut demonstratia pe un caz particular.

 namespace, on 18 martie 2014 - 14:55, said:

Evident, nu ma refer la aceea. Mi se pare ca N* = {1,2,3,4,...} este o multime extrem de bine definita.
f(x) este 0 a.p.t. cu exceptia punctelor de forma 1/n unde face 1/n, cu n in N*. Si este un contraexemplu excelent pentru orice incercare plecand pe un drum gresit.

 takemeintoyourskin, on 18 martie 2014 - 14:20, said:

Nu cred ca propunerea mea e cine stie ce neconventionala.
 tr_ekil.gif   20.85K   17 downloads
Dat fiind ca <IAC = <BAG = 30°, avem AI = b*sqrt(3)/4, AG = c*sqrt(3)/4 si in triunghiul IAG teorema cosinusului furnizeaza
IG² = AI² + AG² - 2*AI*AG*cos(A+60°) = (3/4)*(b² + c² - b*c*cos( A ) + sqrt(3)*b*c*sin( A ) ) =  [teorema sinusului] = 3*R²*( sin²( B ) + sin²( C ) - sin( B )*sin( C )*cos( A ) + sqrt(3)*sin( A )*sin( B )*sin( C ) )
ceea ce se poate scrie dupa cateva manipulari de rutina ca
IG² = 3*R²*( sin²( A ) + sin²( B ) + sin²( C ) - cos( B )*cos( C )*cos( A ) + sqrt(3)*sin( A )*sin( B )*sin( C ) - 1 )
expresie simetrica/invarianta la permutarile lui A, B si C, de unde rezulta ca si celelalte laturi (GH si HI) sunt furnizate de aceeasi formula obtinuta aici si sunt deci egale intre ele.

Edited by mdionis, 19 March 2014 - 01:58.