Aplicare matematica in diverse situatii

Nu-i chiar asa. Multe demonstrații sau probleme aparent inutile au necesitat practic inventarea unor noi ramuri ale matematicii. Care sunt folosite în mod curent de oricine are un job mai sofisticat decât "cumpăr ieftin de acolo și vând scump dincolo".

Quote

Nu inteleg exact unde e dilema ta. Toate repositoryurile mele pe care le-am dat exemplu sunt aplicatii practice.

...atunci o lăsăm așa: ne-nțeleasă!

In matematica exista spatii (vectoriale si de tot felul) cu cate dimensiuni vrei. Si au aplicatii practice o multime.
Un banal sistem de ecuatii liniare de 4 ecuatii cu 4 necunoscute, are o matrice de 4x4, care e o transformare liniara intre doua spatii cu 4 dimensiuni.

Dimensiunile alea nu trebuie sa fie unele fizice, pot fi orice chestii. Numarul de dimensiuni e egal cu numarul vectorilor liniar independenti. In cazul spatiului fizic, e 3, insa in amtematica 4 ecuatii liniar independente sunt identice structural ca un spatiu cu 4 dimensiuni si orice rezolvare e echivalenta cu determinarea acelor 4 axe.
Si asta-i doar un exemplu. Dar multe proprietati gen rotatia 3D, se aplica si in spatiile 4-5-1000D sub forma matricilor ortogonale.
Aceste lucruri pot fi de exemplu canale de comunicare in tehnologia 3G/4G/5G. Astea cuprind o tehnica numita OFDM, ortogonal freqency division multiplexing. Intr-o conexiune broadband de internet pot fi mii de asemenea canale diferite care toate sunt ortogonale (echivalentul la perpendiculare din 3D), toate trimise de catre o singura antena si receptionate de o singura antena, fara ca semnalele sa se amestece intre ele.
Doar asa poti avea sute de mbps. Iar in spatele tehnologiei se afla prelucrari matematice in spatii cu multe dimensiuni. O matrice ortonormala tinuta in telefon, alta in releu si una diagonala insemnand canalul de comunicare. Produsul celor trei matrici reprezinta intretesut modul in care sunt transmise datele simultan, fara sa se amestece intre ele.
Procesul matematic se numeste SVD, singular value decomposition.

La fel, compresia imaginilor presupune transformata Fourier, care e un proces ce se desfasoara pe un spatiu multidimensional.

Si multe altele.

Matematica nu se opreste si e prezenta in casele noastre fara sa stim.
Fara transformata fourier rapida, niciun fel de comunicatie digidala nu ar putea avea loc, am fi si acum pe analog. Fara transmisiuni satelitare, fara date digitale prelucrate in timp real. Viata ar fi trista fara FFT.

FFT fiind cel mai  frumos algoritm ever conceput de mintea umana. Mic, elegand, rapid indispensabil si care cuprinde o groaza de idei de prin matematica, bazandu-se pe spatiul 2^N dimensional.
Deci nu unul dintre cele mai frumoase(acest cliseu nenorocit) , ci cel mai frumos. The best, the most beautifull, zdarovaia.

Ca tot ai pomenit de SVD, aici e SVD intr-unul dintre proiectele mele: https://github.com/a.../iTEBD.hpp#L151

https://github.com/aromanro/TEBD

Articolul de baza: https://arxiv.org/abs/cond-mat/0605597

Toate chestiile cu care ne intersectam zi de zi, de la google si Siri/Alexa la GPS se bazeaza pe matematicile alea "fara aplicatii".

De exemplu toate fetele umane se descompun intr-un spatiu cu vreo 20 sau 30 dimensiuni cvasiortogonale (am uitat exact, mi-a spus un prieten care lucra la Google), se foloseste la algortmii de recunoastere a fetelor.

Quote

Uita-te la MIMO spatial multiplexing care face si un banal router, o sa-ti placa si mai mult
Si mai interesant in comunicatii este CDMA, unde coduririle sint ortogonale.
Astea sint exemple clare de matematica destul de complicata (adica ctiva ani dupa liceu) care are aplica direct in inginerie.

a trebuit să vă provoc, pt a dezvălui cu ce vă distrați, de ce anume sunteți entuziasmați!!!
sincer, de multă vreme mă-ntrebam cum de receptorul meu de date/internet din telefon „știe” să selecteze din oceanul electromagnetic EXACT canalul dorit/indicat de mine

vă mulțumesc că existați!
(fără mișto, sincer!)

Quote

Una dintre metodele posibil a fi folosite e https://en.wikipedia...ponent_analysis care nu intamplator, are ceva legatura cu SVDul mentionat anterior.

Aici e o descriere mai amanuntita cu implementare folosind OpenCV: https://machinelearn...onent-analysis/

Misto exemple, parabelum, insa sa nu stii sa explici unuia care n-are nicio treaba.
Nu va citi nimeni alea de pe-acolo, cel putin nu pana nu-i trezesti interesul, sa inteleaga rapid ideea.
Am sa incerc eu, presupunand ca cel care citeste stie ce-s alea matrici si ce-s alea operatii cu matrici elementare de clasa a11a (adunare, inmultire, inversa, transpusa)


1. Partea matematica
Pentru asta, trebuie sa stii ce-s alea matrici si mai tre sa stii ca matricile se pot inmulti, imparti, inversa transpusa.. chestii de clasa a11a.
Teorema: (singular value decomposition)

Orice matrice M se poate exprima ca un produs de 3 matrici M=U*D*V, unde:
- Matricile U si V sunt ortogonale (adica inversa egala cu transpusa U^-1=U^T, V^-1=V^T)
- Matricea D este o matrice diagoanala (adica in afara de elementele de pe diagonala, toate celelalte sunt 0.
- Exista o combinatie unica de matrice U, D, V, daca diagonala D vrem sa contina numere pozitive ordonate descrescator.

2. Vizualizarea grafica fizionomia matricelor si semnificatia
 Screenshot 2022-04-14 210515.jpg   41.66K   2 downloads
Avem o matrice oarecare M, cu L linii si C coloane, pe care matematica o garanteaza ca se poate exprima in produsul a 3 matrice, deosebite.
Matricea ortogonala U contine datele necesare pentru a roti (si oglindi) un spatiu cu L dimensiuni
Matricea ortogonala V contine datele necesare pentru a roti (si oglindi) un spatiu cu C dimensiuni
Astfel incat:
Matricea D sa poata fi diagonala, cu elemente pozitive(facute cu rosu), ordonatye descrescator, ca in imaginea de mai jos (unde am zoomat partea de sus a matricei D si am pus nuante de rosu corespunzatoare faptului ca numerele de acolo sunt in ordine descrescatoare.
 Screenshot 2022-04-14 211630.jpg   25.21K   3 downloads

3. Inainte de a incepe, incropim un studiu de caz
Pentru a intelege semnificatia, sa ne imaginam o aplicatie care-si propune recunoasterea fetelor de oameni, clasificarea acestora. Avem C imagini cu moacele de buletin ale unor oameni, fiecare moaca avand L pixeli.

Pe fiecare coloana a matricei M, asezam in ordine pixelii dinntr-o imagine cu moaca de buletin. Daca moaca are in jur de 10megapixeli, matricea va avea in jur de 10 milioane de linii L, Daca pozele sunt color, atunci vom avea L=30miliane

Fiecare coloana reprezinta o poza. C poze, C coloane. Sa zicem ca avem in jurul a 1000 de poze.

Deci avem L in jur de 10 000 000, C in jur de 1 000. Am pus cifrele astea sa intelegem cam care-i dimensiunea unei astfel de probleme.


Dupa decompozitie, obtinem cele doua matrici ortogonale. Matricea U va fi colosala, imensa (100 000 000 000 000 elemente). Matricea V va fi mititica (1 000 000 elemente), de miliarde de ori mai mica.
Elementele respectivelor matrici contin informatii despre rotatia spatiilor, dupa cum ziceam.

Matricea D va avea totul Zero in afara diagonalei. Ea va contine doar C elemente nonzero, pozitive si ele vor fi asezate in ordine descrescatoare,

4 Semnificatia matricei D
La prima vedere pare ca n-am facut mare scofala. Insa, daca stam si cugetam, tocmai am obtinut o minunatie care, intr-o singura operatie banala matematica, nu credeam ca e posibila. Si anume, am clasificat C imagini de L pixeli in C categorii INDEPENDENTE.
Adica..
Cum clasificam noi oamenii? Dupa ochi, sprancene, forma fetei, urechi, culoare par.. chestii omenesti. Si cum descriem noi o moaca de om? Well, cu mare greutate si cauza e tocmai faptul ca avem o clasificare impusa de .. elemente componente.
Cu SVD, tocmai am gasit un clasificator in C categorii distincte a C figuri umane.
Fiindca celelalte matrici sunt ortogonale (perpendiculare ca directie in spatiu), practic informatia relevanta pentru a descrie LxC pixeli, o gasim in doar C numere, asezate si in ordine descrescatoare, de la caracteristicele cele mai relevante, catre cele mai putin relevante.

Si mai minunat e faptul ca, matricea D de regula are primele 10% sau mai putin de elemente semnificative, restul fiind aproape zero si pot fi apoi ignorate.
Daca pozele sunt standard de buletin si bine centrate pe mijloc, matricea D contine doar 4-5% de elemente semnificative, restul fiind neglijabile, aproape de zero.
De fapt, l eputem ignora si recompune matricea M dupa reclasificare.
 Screenshot 2022-04-14 213405.jpg   54.18K   1 downloads

In imaginea de mai sus, am pastrat doar elementele relevante din D, care de regula sunt un mic procentaj.
Cu cat pastram mai multe, cu atat avem o baza mai mare de clasificare in caracteristici ortogonale, independente.
Si numerele respective de pe diagonala, reprezinta cuantumul acestor caracteristici care se regaseste in fieccare caracteristica (Echivalent cu culoarea parului, umana, care probabilva fi fi o caracteristica principala, in zona rosie a diagonalei si in algoritmul SVD, chiar daca clasa respectiva nu va purta un nume anume cum e "culoare par" ci e o caracteristica X, oarecare, numerotata de la 1 la... 5%C

Ideea e ca, fiecare poza din cele 1000 se poate exprima ca o combinatie de vectori din U si V, avand ponderea din D, iar D induce o clasificare dupa caracteristici.

In felul asta calculatorul clasifica caracteristici din imagini.
Cum arata acele imagini poti gasi in linkul lui parabellum, al doilea. Algoritmul lui e usor diferit, dar astai mai simplu de inteles decat algoritmul din linkul lui parabellum care-i mai performant si care rezolva problema ca matricea L e colosal de mare si nu poate fi reprezentata in memoria calculatorului sub forma asta.


Acuma, ce putem face cu chestia asta? Avand o clasificare, putem aduce a 1001-a poza de buletin si sa o clasificam conform clasificarii celorlalte 1000. Ca rezultat vom obtine gradul de asemanare cu fiecare din cele 1000 de poze. Si putem instrui calculatorul sa ne arate poza cea mai asemanatoare. In felul asta recunoastem o moaca din o baa de date de alte moace.
Noua moaca nu tre sa fie identica. Algoritmul distinge trasaturi umane pe care un om nu le poate exprima in cuvinte si furnizeaza automat un rezultat plauzibil.

Uite ce poate face o banala descompunere de matrice in 3 matrici + eventual o reclasificare prin ignorarea celor aproape zero (pentru reducerea caracteristicilor independente).

O simpla operatie matematica pe care o poate intelege un elev de clasa a 11a, ofera un algoritm cu comportament inteligent, piesa de inteligenta artificiala.
Si in intestinele lui, algoritmul SVD e unul care produce doua rotatii ale unor spatii vectoriale, astfel incat sa avem o diagonalizare a matricei din mijloc. O chestie de spatii vectoriale multidimensioale.
Descompunerea SVD o gasesti prin librariile diverselor limbaje de programare. Tu tre sa-i intelegi rostul si s-o aplici direct, fara prea multe calcule si obtii ceva totusi ... miraculos.



Explicatia de mai sus e taiata si rotunjita pe la colturi. Implementarea reala e usor mai dificila. USOR. Nu am scris exact deoarece nu vreau sa plictisesc cu detalii putin relevante, dar cine e direct interesat, poate cauta SVD pe youtube si gaseste cursuri online interesante, usurele si de mare utilitate in recunoasterea moacelor, o problema dificila, nasoala.

Edited by maccip, 14 April 2022 - 20:51.

Am uitat sa scriu ca clasificarea de mai sus, are criteriile de clasificare in ordinea importantei.
Pe primele pozitii sunt criteriile importante (probabil echivalentul "masina" al culoarei parului, formei fetelor, sexul persoanei, varsta)
Criteriile scad ca importanta mai intai lent, pana la o valoare, dupa care scad foarte brusc, pana la valori apropiate de zero si stau acolo pana la sfarsitul enumerarii criteriilor.
Ultimele criterii de fapt reprezinta similitudinile inerente si care nu se pot exprima in cuvinte, dintre moacele umane. Sunt multe elemente comune si acest lucru e exprimat de faptul ca sunt multe valori din matricea D cu valori apropiata de 0 ca si importanta si care pot fi lejer ignorate.
De regula se ignora si se obtine un alt spatiu de clasificare dupa care se reproiecteaza pozele initiale, obtinandu-se poze usor diferite de originalul, aproape imperceptibil. Chestia asta e si o comprimare a imaginii, pentru ca rezultatul se comprima mult mai mult decat varianta originala.

Si apoi, orice noua imagine se proiecteaza pe caracteristici in ordinea importantei, pana la un anumita caracteristica, proces prin care se poate gasi care anume din cele 1000 de imagini e cea mai apropiata. Procesul SVD e agnostic la ce anume caracteristica e acolo. O fi mai incruntat, o avea ceva specific moaca repspectiva, dar ideea e ca-l recunoaste pe individ din 1000, sau daca nu e printre aceste poze, gaseste "cel mai similar" individ dintre aia. Extrem de util si inteligent. Repet, cu o simpla operatie pe matrici, care nu tine seama nici de cum ai pus pozele in coloana, daca-i color sau nu, nu tine seama de multe lucruri "omeneste" relevante. Algoritmul gaseste exact ce-i mai relevant in comparatie, chiar daca acel lucru nu poarta o denumire umana cum ar fi "lungime par" sau "sexul persoanei".

Edited by maccip, 14 April 2022 - 21:26.

Quote

Intre a nu sti si a nu face sunt diferente mari

maccip, on 14 aprilie 2022 - 20:50, said:

...și uita așa mai am un document salvat în folderul ”minunății de citit” la pensie!

Algebra boolean, fara de care acuma ne-am uita pe pereti sau am citi... carti. De hirtie.

Am vizitat mormantul lui Boole acum 10 ani, o piatra lasata in paragina, plina de mushki si licheeni, pe care abia se vedea ce scrie.

• Pun pariu ca la Tupac și Notorious BIG e coada

gushpi, on 15 aprilie 2022 - 10:15, said:

Poate de vizionat e mai usor. Cu cat ne apropiem de sfarsitul vietii, cu atat ne dorim raspunsuri mai rapide.

[ https://www.youtube-nocookie.com/embed/gXbThCXjZFM?feature=oembed - Pentru incarcare in pagina (embed) Click aici ]

Linkul pentru intreg playlistul nu merge, dar in gasesti in canalul tipului. Printre alte chestii misto.

Edited by maccip, 17 April 2022 - 21:15.