Jump to content

SUBIECTE NOI
« 1 / 5 »
RSS
Achizitie miniPC.

In ce an este bine sa cumperi tel...

Cablu electric pentru exterior

La multi ani indragostilor! D...
 Germania a legalizat consumul de ...

Frigidere de bauturi pentru magaz...

Exista magazin fizic XIOAMI in Ro...

google.ro virusat?
 Ati castigat vreodata la "con...

HIT FM Zarnesti - Metropolitan Br...

Google Consent Mode V2

La multi ani @rz!
 Placa retea integrata la un ASUS ...

Targ de viniluri - Bucuresti

Achizitionare furca RockRider

End to end encrypted messenger
 

Problema olimpiada clasa a V-a

- - - - -
  • Please log in to reply
27 replies to this topic

#1
Stef_Stef

Stef_Stef

    Senior Member

  • Grup: Senior Members
  • Posts: 2,008
  • Înscris: 17.08.2016
Se dau mulțimile A = {x∈ N | 238 < x  ≤ 326 } si B = { x ∈ N | 325 ≤   x < 242 } Dacă a este numărul elementelor mulțimii A și b este numărul elementelor mulțimii B, comparați numerele naturale a și b.

#2
ioppo

ioppo

    Guru Member

  • Grup: Senior Members
  • Posts: 13,231
  • Înscris: 20.02.2008
Vaaaai problema de matematica in care gasesti 4 cifre intr-un carnat de juma de metru... :)

#3
EMPP

EMPP

    Guru Member

  • Grup: Senior Members
  • Posts: 10,618
  • Înscris: 12.01.2018
3 se scrie ca 2+1 la puterea 26

#4
mirel3003

mirel3003

    Senior Member

  • Grup: Senior Members
  • Posts: 5,756
  • Înscris: 04.10.2007

View PostEMPP, on 27 octombrie 2020 - 15:34, said:

3 se scrie ca 2+1 la puterea 26

problema e ca (a+b)^26 nu este egal cu a^26 + b^26 si vei scrie 2 pagini de formule sa o spargi...

si mie mi-a starnit interesul.. ma gandesc cum se poate rezolva.

#5
Rhesus

Rhesus

    Senior Member

  • Grup: Senior Members
  • Posts: 2,882
  • Înscris: 22.04.2014
Provocare: Sa incercam sa rezolvam problema fara sa apelam la formule invatate pe din afara, ci sa ne rezumam strict la aritmetica (si regulile de baza, cardinalitate, etc.)

#6
lyanna

lyanna

    Active Member

  • Grup: Members
  • Posts: 1,294
  • Înscris: 02.09.2007
a = 3^26 - 2^38 si b = 2^42 - 3^25

Presupunem a > b si vedem la ce ajungem:

3^26 - 2^38 > 2^42 - 3^25 adica
3^26 + 3^25 > 2^42 + 2^38 adica
3^25 *4  > 2^38*(16+1) ...

trebuie sa ajungi la o contradictie sau la un adevar

Ori am gresit pe undeva ca ar trb sa fie 2^38 * multiplu de 3 sau e gresit enuntul.

Ar trb sa ajungi pe la un 3^24 > 2^36 cat sa poti sa argumentezi ca (3^2)^12 > (2^3)^12

Edited by lyanna, 27 October 2020 - 16:22.


#7
mirel3003

mirel3003

    Senior Member

  • Grup: Senior Members
  • Posts: 5,756
  • Înscris: 04.10.2007

View Postlyanna, on 27 octombrie 2020 - 16:09, said:



Presupunem a > b si vedem la ce ajungem:


b > a, am facut eu calculul in excel...

#8
sags

sags

    Senior Member

  • Grup: Senior Members
  • Posts: 9,736
  • Înscris: 24.04.2013
Pentru o rezolvare completa si corecta atentie la inca un detaliu: cardinalul primei multimi este max (0, 326 - 238), NU este pur si simplu diferenta aceea ca nu stim a priori daca e pozitiva sau nu. La fel pentru a doua multime. Ambele multimi sunt nevide, dar trebuie demonstrat. Abia apoi verificam diferenta diferentelorPosted Image.

Edited by sags, 27 October 2020 - 16:37.


#9
Stef_Stef

Stef_Stef

    Senior Member

  • Grup: Senior Members
  • Posts: 2,008
  • Înscris: 17.08.2016
Exeact...eu am procedat asa...
325 *4  > 238*17 sau 325 > 236 *17 si extragand radical de ordin 6...

34 * rad(3) > 26 * rad (17) , unde rad(x) = radical ordin 6 din x...
Cu un calculator da ceva de ganul 104 comparat cu 97 parca, adica f strans...
Alte idei nu am...

#10
_Smiley_

_Smiley_

    Guru Member

  • Grup: Senior Members
  • Posts: 19,919
  • Înscris: 24.02.2006

View Postlyanna, on 27 octombrie 2020 - 16:09, said:

a = 3^26 - 2^38 si b = 2^42 - 3^25

Presupunem a > b si vedem la ce ajungem:......
in primul rand, demonstram ca b > 0
2^42 > 2^40 = (2^8)^5 = 256^5 > 243^5 = (3^5)^5 = 3^25
(2^8 si 3^5 sunt usor de calculat; cand 2 puteri au acelasi exponent, este mai mare cea cu baza mai mare)

acum sa calculam b-a
b-a =  2^42 - 3^25 - 3^26 + 2^38 = 2^38(2^4 + 1) - 3^25(1 + 3) = 17 * 2^38 - 4 * 3^25 = 4(17*2^36 - 3^25)
17*2^36 > 16 * 2^36 = 2^40  > 3^25 (am demonstrat deja asta), deci b-a > 0, deci b >a

nu mai are rost sa demonstram ca a > 0; daca a = 0 atunci b > a (pt ca b > 0), iar daca a > 0 atunci b > a conform demonstratiei de mai sus.

#11
clorel_utnapishtim

clorel_utnapishtim

    Active Member

  • Grup: Members
  • Posts: 1,870
  • Înscris: 05.09.2020
Problema e bine formulata si nici nu e grea:

1. Cum  23= 8 < 9 = 32, avem ca 238 < 239 = 23 X 13 < 32 x 13 = 326  deci prima multime e bine definita si are  a = 326 - 238  de elemente.

2. Cum  25 = 32 > 27 = 33, avem ca 242 = 22 x 240 = 4 x 25 x 8 > 3 x 33 x 8 = 325  deci a doua multime e bine definita si are
b = 325 - 242 de elemente.

3. Voi arata ca a < b , adica  326 - 238 < 242 - 325 .  Pentru asta e suficient sa arat ca 326 - 325 < 242 - 238   adica 2 x 325 < 238 x ( 24- 1 )  
24 -1 = 16 -1 = 3 x 5 , simplific cu 2 si cu 3 si am de aratat ca 324   < 5 x 237 .
Dar 5x237 = 10 x 236 = 10 x 812 (am folosit ca 23 = 8 ) si  324 = 912 (am folosit ca 32 = 9 ).
Deci am de aratat ca 912 < 10 x 812, adica ( 9/8 )12 < 10.   Cum 10 > 8 = 23, e suficient sa arat  ceva mai simplu, anume ca (9/8)2 e mai mic decat radical din 2.  Si asta e relativ usor: (9/8)2 = ( 1 + 1/8 )  x ( 1 + 1/8 ) = 1 + 2/8 + 1/64 < 1 + 0,25 + 0,05 =1,3.   Gata.

Problema poate fi rezolvata fara calculator, doar cu ceva algebra elementara. E buna pentru olimpiada de clasa a 5-a, cred ca eu as fi facut-o atunci.

#12
_Smiley_

_Smiley_

    Guru Member

  • Grup: Senior Members
  • Posts: 19,919
  • Înscris: 24.02.2006
poti detalia un pic partea asta?

View Postclorel_utnapishtim, on 30 octombrie 2020 - 03:07, said:

.....  326 - 238 < 242 - 325 .  Pentru asta e suficient sa arat ca 326 - 325 < 242 - 238  ...


#13
Stef_Stef

Stef_Stef

    Senior Member

  • Grup: Senior Members
  • Posts: 2,008
  • Înscris: 17.08.2016

View Postclorel_utnapishtim, on 30 octombrie 2020 - 03:07, said:


2. ...a doua multime e bine definita si are
b = 325 - 242 de elemente.

3. Voi arata ca a < b , adica  326 - 238 < 242 - 325 (?).  
In membrul drept e "-b"...

#14
clorel_utnapishtim

clorel_utnapishtim

    Active Member

  • Grup: Members
  • Posts: 1,870
  • Înscris: 05.09.2020
Multumesc pentru semnalat greselile.


Here we go again:

Prima multime are a = 326 - 238 de elemente. a > 0 pentru ca 326 = 32 x 13 = 913 > 813 = 23 x 13 = 239 > 238

A doua multime are b = 242 - 325 de elemente. b > 0 pentru ca 242 = 22 x 240  > 240 = 28 x 5 = 2565 > 2435 = 35 x 5 = 325

E usor de aratat ca a < b, adica 326 - 238 < 242 - 325 .  Inegalitatea e totuna cu  242 + 238 > 326 + 325.  Mai sus am aratat ca   240 > 325   deci 242 + 238 > 242  =22  x 240 > 4 x 325 = (3 +1) x 325 = 326 + 325 .  Gata?

#15
Stef_Stef

Stef_Stef

    Senior Member

  • Grup: Senior Members
  • Posts: 2,008
  • Înscris: 17.08.2016
inca o pb daca  aveti vreo idee...
fie Sn suma cifrelor numarului 2771n . Sa se afle n astfel ca Sn sa fie minima

Edited by Stef_Stef, 11 January 2021 - 18:48.


#16
lyanna

lyanna

    Active Member

  • Grup: Members
  • Posts: 1,294
  • Înscris: 02.09.2007
n = 0 Posted Image)

Suma cifrelor unui numar nu poate fi 0 decat daca numarul este 0.

Daca n>= 1 atunci suma cifrelor lui 2771^^n este clar mai mare ca 1.
Singurul mod ca suma cifrelor unui nr sa fie 1 ar fi ca nr sa fie de forma 10000...000, dar nr asta se divide cu 10 (cu 2 si cu 5).
2771 nu se divide nici cu 2, nici cu 5 deci nu are cum sa ajunga in situatia ca 2771^^n sa fie de forma 100...0,
Adica, nu exista n astfel incat suma cifrelor lui 2771^^n sa fie 1.

Edited by lyanna, 12 January 2021 - 13:09.


#17
Stef_Stef

Stef_Stef

    Senior Member

  • Grup: Senior Members
  • Posts: 2,008
  • Înscris: 17.08.2016

View Postlyanna, on 12 ianuarie 2021 - 13:05, said:

n = 0 Posted Image)

Suma cifrelor unui numar nu poate fi 0 decat daca numarul este 0.

Daca n>= 1 atunci suma cifrelor lui 2771^^n este clar mai mare ca 1.
Singurul mod ca suma cifrelor unui nr sa fie 1 ar fi ca nr sa fie de forma 10000...000, dar nr asta se divide cu 10 (cu 2 si cu 5).
2771 nu se divide nici cu 2, nici cu 5 deci nu are cum sa ajunga in situatia ca 2771^^n sa fie de forma 100...0,
Adica, nu exista n astfel incat suma cifrelor lui 2771^^n sa fie 1.

corect, insa am uitat sa precizez ca n e natural > 0...

#18
lyanna

lyanna

    Active Member

  • Grup: Members
  • Posts: 1,294
  • Înscris: 02.09.2007
1) n apartine lui N (il contine si pe 0)
2) n apartine lui N* (fara 0).

Daca e prima varianta ai deja rezolvarea. Daca zice N* sau n > 0, ne mai gandim :)

Anunturi

Chirurgia cranio-cerebrală minim invazivă Chirurgia cranio-cerebrală minim invazivă

Tehnicile minim invazive impun utilizarea unei tehnologii ultramoderne.

Endoscoapele operatorii de diverse tipuri, microscopul operator dedicat, neuronavigația, neuroelectrofiziologia, tehnicile avansate de anestezie, chirurgia cu pacientul treaz reprezintă armamentarium fără de care neurochirurgia prin "gaura cheii" nu ar fi posibilă. Folosind tehnicile de mai sus, tratăm un spectru larg de patologii cranio-cerebrale.

www.neurohope.ro

0 user(s) are reading this topic

0 members, 0 guests, 0 anonymous users

Forumul Softpedia foloseste "cookies" pentru a imbunatati experienta utilizatorilor Accept
Pentru detalii si optiuni legate de cookies si datele personale, consultati Politica de utilizare cookies si Politica de confidentialitate