Despre o posibilă esteticitate a științelor matematice

Bai fete si baieti, lasati untoldu, dar ce ziceti de valoarea estetica a urmatoarei expresii?
e^iπ-1=0

Formula lui Euler, considerata de catre unii cea mai frumoasa formula din matematica.
Pentru simplitatea ei, pentru ca leaga niste numere concept, nascute in zone diferite ale matematicii:
e, constanta lui Euler, e un numar transcedental, cu o semnificatie centrala in exprimarea variatiei unui proces functie de valoarea acelui proces intr-un anumit moment.
π, constanta care are face legatura intre diametrul cercului si circumferinta sa, un numar care i-a fascinat pe multi ganditori din diferite arii, inca din antichitate.
i, numarul imaginar, reprezentantul conceptului de numar imaginar, primul pion in afara axei numerelor.
1, unitatea. Primul reprezentant al conceptului de numar.
Toate aceste constante fundamentale, universal valabile atat pe Pamant cat si pentru orice alt extraterestru cu tip conceptual de gandire legate pintr-o formula parca coborata din cer, o forma platonica perfecta a insasi structurii formale, cu sens insasi in abstractul acestei structuri, fara a fi nevoie de o reprezentare geometrica sau fizica.
Formula insasi e o forma abstracta si orice reprezentare a ei matematica, filozofica, estetica, are fascinatia ei de natura subiectiva.

Un juvaier al formelor abstracte, care nu are nevoie de nicio reprezentare auditiva, vizuala sau de alta natura. E frumoasa prin insasi existenta ei in spatiul formal, abstract, logic, matematic.

Edited by maccip, 11 September 2020 - 22:49.

``|```|``


nu iese

Edited by tomaso, 11 September 2020 - 22:57.

 maccip, on 11 septembrie 2020 - 22:47, said:

Boss, eu cand aud cuvantul "matematica", imi vine sa scot pistolul, vorba unui ticalos celebru!

Haha, chiar si asa nu poti sa nu constati frumusetea in formula aia.

 maccip, on 13 septembrie 2020 - 12:25, said:

Primavera lui Botticelli e frumoasa.
Bolero a lui Maurice Ravel e frumos.
Für Elise a lui Beethoven e frumoasa.
Cartea Lolita a lui Vladimir Nabokov e frumoasa.
Catedrala La Sagrada Familia a lui Gaudi e frumoasa.
Alicia Silverstone e (inca) frumoasa.
Bruneta cu parul lung si ochii albastrii care trece pe langa mine chiar acum e superba.
Ciocolata elvetiana pe care ma pregatesc sa o mananc singur (am fugit de acasa pana intr-un parc din vecinatate ca sa nu o impart cu sotia! ) e frumoasa.
Formula aia matematica, nu!

Dar toate astea enumerate de tine sunt reprezentari ale frumusetii, nu frumuseti prin ele insele. Esenta frumusetii e de natura abstracta, ea rezida doar in mintile noastre si orce exemplificare e o reprezentare. Matematica e singura care are sansa de a oferi o reprezentare fidela, nedeformata. De aia eu cred ca trebuie amintita. Nu poti simplifica arta pe o directie intamplatoare, alta decat cea a reprezentarii fidele. Sa pastrezi nucleul estetic minimalizand reprezentarea e un algoritm esentialmente logic, matematic.
Altfel ajungem la minimalisme care sunt castrate insasi de nucleul estetic ramanand doar forma matematiczata, sterila. La tablourile alea pline de patratele vandute cu milioane de dolari snobilor, pe motiv ca vezi doamne sunt arta minimalista. Observam ca desi sunt golite de sugestii, se indreapta inspre forme sterile, matematice. Nu cred ca asta poate insemna minimalism.
Dar matematica poate goli un obiect complex de formele sterile, ramanand .. ceea ce ramane. Simplificarea in matematica duce inspre estetic, inspre forme platonice din afata matematicii, inspre frumos. Mai sunt si altele pe care eu le consider frumoase, formula lui Euler e considerata de multi fruoasa, eu am altele si mai frumoase. Daca gusta careva chestiile astea, le pot expune intr-o forma artistica, sa zicem. Partea matematica nu ne intereseaza pe topicul asta.

Acuma nu stiu in ce masura, spre exemplu Arvo Part a urmat acest algoritm de simplificare, poate stiu cei care se pricep la muzica, dar acest algoritm e un candidat serios, exista ratiune in el. Orice artwork are in componenta forme sterile care sa faca posibila reprezentarea formei estetice primordiale, formei simbolice.

Edited by maccip, 13 September 2020 - 13:25.

 maccip, on 11 septembrie 2020 - 22:47, said:

Formula asta e precum vorba lu' Amza Pellea: "dă-mi o greblă cu care să beau, că aşa mi-e de foame că nici nu ştiu unde voi dormi".

La exponent apare i, un număr care dacă e multiplicat cu el însuşi dă... -1.  Acesta e multiplicat cu un alt număr deosebit π, care după virgulă nu se termină niciodată. Şi cum n-ar fi destul, acest numărul care multiplicat cu el dă minus, multiplicat la rândul său cu un număr "fără număr fără număr"...este exponentul unui alt număr fără de sfârşit: e. Întregii şandramale i se adaugă unitatea, şi rezultă...nimicul !


De asta spuneam eu într-un text mai sus că...un alt număr celebru φ, e responsabil cu frumuseţea nu doar în ceea ce priveşte raportul imaginilor şi volumelor, ci şi al ideilor.

Edited by lupini, 13 September 2020 - 14:43.

Numarul φ face parte dintr-o categorie mai ampla de idei platonice. Reprezentarea intregului prin parti componente, similitudinea intregului cu partile componente. Numarul e de fapt o ratie care persista prin ea insasi in formele bidimensionale. Numerele rationale au fost privite toate ca fiind ratii ale unor lucruri naturale, cu reprezentare fidela imediata. Doua paie la trei magari.
Interesant e ca φ este un numar irational dar si mai paradoxal e ca φ este de fapt cel mai irational posibil numar irational, privit din perspectiva departarii fata de o ratie intre doua numere intregi.

Din aceiasi categorie de idei platonice, face parte si reprezentarea fractalilor, ideea de fractal in sine nu cuprinde similaritatea intregului cu partile componente, dar observam ca orice reprezentare a ideii in sine, face acest abuz de acest lucru, la orice scara.
Fractalul lui Mandelbrot e de fapt o multime care cuprinde totalitatea punctelor din plan pentru care o anume expresie matematica nu diverge la infinit.
O reprezentare fidela a ideii, se poate scrie simplu in limbaj pseudo-matematic
M={ c | {z=0; z<=z²+c} < infinit }.
Rotunjita pe la colturi, expresia centrala a acestui fractal e inca si mai simpla.
Dar reprezentarea lui grafica e cu adevarat fascinanta.
[ https://www.youtube-nocookie.com/embed/PD2XgQOyCCk?feature=oembed - Pentru incarcare in pagina (embed) Click aici ]

O multime de "features" self-similare, relaxand anumite aspecte matematice(ca ele nu sunt chiar perfect similare, n-au cum), dar ideea platonica e acolo, se vede la orice scara. O explozie de forme si patternuri care nu se opresc niciodata, rezulta din acea simpla formula, reprezentanta fidela a ideii pure de self-similar. Cateva conexiuni fasinante intre conceptele fundamentale ale matematicii sugerate sau speculate de reprezentarea acestei figuri, dar si o infinitate de motive geometrice imbricate care formeaza o sugestie de ordin estetic sau chiar filozofic. Exista speranta ca se vor gasi locul unor rosturi deocamdata necunoscute ale unor concepte primordiale.
Arta s-a nascut ca un canal de legatura cu divinitatea, sunt multe lucruri ale caror rost nu le intelegem in paradigma pamanteasca. Nici macar nu intelegem la ce e necesara muzica, la ce serveste la nivelul cel mai intim. Poate legatura cu divinitatea, cu creatorul sau cu fibra realitatii observabile, cu lucrurile care umplu eterul universal dar pe care nu le putem vedea, dar intui, banui prin alte metode decat cele ale judecatii, poate prin arta sau prin simple elemente pe care in lumea noastra sunt procedee stilistice.
Ca si gategorie metafizica, nevoia de arta si raportul fata de NaturA/Divinitate/Creator/Eter, au un nucleu comun. Posibil sa fie doar o simpla problema de perspetiva dinspre noi inspre creator si invers. Se poate specula orice, vectorul cautarilor inca e treaz si merge inspre lucruri posibile, sugerate sau speculate din simetrii.

Un alt numar care exprima conexiunea intima intre intreg si partea componenta similara cu el insusi, dar dintr-o perspectiva auto-constructiva, incrementala, se regaseste in diagrama bifurcatiilor unui sistem dinamic instabil. Constanta lui Feigenbaum, aflata in aceiasi liga cu pi, e si alte cateva constante fundamentale ale ideii de continuum al spatiului.
De data asta constanta e una construita prin observare, fara o idee platonica, insa se pare ca exista si o idee de acest tip in spatele acestui numar si se pare ca cineva ar si fi descoperit-o.

Revenind la numarul de aur, faptul ca se regaseste in arta e doar o speculatie, din cauza fluctuatiilor statistice intre masurabilele din arta, nu se poate identifica ca fiind precis el, acea idee platonica de self-similar. Dar ea poate fi impusa ca ipoteza nula, neputand fi invalidat prin observatia statistica. Dar el, daca chiar exista prin citare ca si axioma, reprezinta tocmai partea matematica a ideii, cea de care arta s e poate dispensa cumva pastrand nucleul estetic, nici el insusi, nici raportul de-l exprima, nu reprezinta o forma estetica, contemplabila.

Edited by maccip, 13 September 2020 - 16:21.

 Darkestnight, on 10 septembrie 2020 - 17:14, said:

Este adevarat, nu doar o parere, ci o obsevatie pertinenta, dovedita deja stiintific, in zilele noastre.
Muzica modifica undele cerebrale.
Si arta vizuala are capacitatea aceasta. Van Gogh cred ca o stia foarte bine.
Eu studiez astrologia ca hobby. Si am constatat ca  vocatia de medic/vindecator si cea de artist se intersecteaza de multe ori. In succesiunea vietilor anterioare.

Edited by Cr1spy, 13 September 2020 - 21:04.

Quote

Ia pune maccip un singur exemplu, sa vad cum se transforma poezia formulelor in arta vizuala.

Un posibil criteriu al esteticităţii obiectelor de altă natură decât arta propriu-zisă pare a fi forma lor vie; o formă care să subziste cu şi ca viaţă proprie, care să statornicească o existenţă pentru moment autonomă şi - în cel mai înalt grad - interesantă, şi care astfel să semene efectiv (în ochii receptorului/  privitorului/ ascultătorului) unei opere de artă, transfigurată într-un univers cvasiartistic.

 lupini, on 13 septembrie 2020 - 14:34, said:

Poţi povesti liniştit despre Secţiunea de Aur ("Numărul de Aur" ori "Raportul de Aur", spune-i cum vrei acestui phi).

Ori des-cântă-l: 1,6180339887....

[ https://cdn11.bigcommerce.com/s-e8fztk4/images/stencil/1280x1280/products/17313/58662/NW-93_2_11x17.5__58377__13316__70695__99570.1500644276.jpg - Pentru incarcare in pagina (embed) Click aici ]


Salvador Dali - Cina cea de taină (1955). National Gallery, Washington DC

"Dimensiunile tabloului se află într-un Raport de Aur: 105 1/2 in. x 65 3/4 in.

O parte dintr-un uriaş dodecaedru se vede plutind deasupra mesei şi încadrând-o" (Mario Livio, Povestea lui phi, cel mai uimitor număr)

Edited by Naoto, 14 September 2020 - 00:40.

Nu am şters nimic. Am creat un topic nou.

Edited by Naoto, 14 September 2020 - 00:21.

Hai ca chiar ma suparasem.

Mi se pare fascinant să se poată discuta despre frumuseţea matematicii

Acum nu-mi mai gasesc cuvintele, ma duc sa bag o tigara si mai vedem....
Eram chitit.

Edited by maccip, 14 September 2020 - 00:17.

La ce vreau sa ma refer eu ca fiind frumos, necesita o garnitura mai mare pentru a ma face inteles. Matematica e lunga si pentru multi plictisitoare, nu se poate face intr-o postare o expunere corecta si completa, am sa incerc sa merg printre joaloane s-o fac cat mai scurta dar coerenta.
Si voi spune de la inceput unde vreau sa ajung. Este vorba despre o structura simetrica fascinanta care rezida insasi in arhitectura cognitiva a gandirii de tip conceptual specifica oamenilor si singurul tip de gandire pe care ni-l putem noi oamenii imagina. In matematica, mai precis in teoria grupurilor, exista o clasificare a lor, de interes e clasificarea grupurilor simple finite deoarece aceasta cuprinde cateva clase majore de grupuri, dar cateva numite "sporadice", care au un inteles special si reprezinta prin insasi existenta lor, un fascinant obiect de arta, un obiect abstract cu o simetrie unica, existenta pe un caz particular de spatiu. De ce exista astfel de obiecte in insasi structura intima a ideilor? Nu se stie. Exista un numar de 26 de astfel de obiecte unicat, primul descoperit inainte de 1900, ultimul cu putin inainte de 2000 si o teorema matematica intinsa pe mii de pagini care pare-se ca fixeaza numarul acestora la 26. Fiecare din cele 26 de grupuri sporadice au fost descoperite de diversi indivizi, printre care si John Conway, ala din avatarul meu, mort de covid, un om care merita sa-i fac un fel de tribut pentru modul in care m-a facut sa vad lucrurile si ma infuentat in propriile cautari.
Personal am un mare respect pentru acest om si munca lui si mai ales pentru faptul ca e printre putinii reprezentanti ai speciei noastre care a dus calatoria asta pana in locul in care acest obiect poate fi admirat, contemplat in modul in care el a facut-o. Drumul e lung si eu nu-l stiu, cunosc doar prima parte a lui, pana la indicatorul de carare ingusta unde n-am puterea sa ma afund.

Am sa incerc si eu sa va duc pana intr-acolo unde am ajuns eu, pe repede inainte, prin elemente stilistice mai degraba decat matematice, mai departe ramane imaginatia si posibil introspectia fiecaruia. Pentru ca eu imi imaginez ca va voi lasa ca la finalul unui film care nu se mai face, cand ramai in sala inca 10 minute sa vezi ecranul ala negru. N-am sa reusesc, dar macar asta-mi doresc, sa va molipsesc de fascinatia mea pentru acest particular lucru.
Si pana a ma apuca de treaba, las aici un filmulet cu John Conway care are cateva cuvinte de spus despre unul dintre cele 26 de grupuri sporadice, cel mai mare dintre ele, numit "grupul monstru".
Macar sa vedeti fascinatia altuia despre acest lucru cum se manifesta, pana a-mi justifica propria fascinatie, cumva.

Ah, daca citeste vreun matematician pe-aici, sa faca abstractie de elementele stilistice. N-ai cum sa fii corect si complet, dar scopul e altul, de natura estetica nu matematica
Deci. John Conway -> El e! De la minutul 6:49.
[ https://www.youtube-nocookie.com/embed/xOCe5HUObD4?feature=oembed - Pentru incarcare in pagina (embed) Click aici ]

Edited by maccip, 14 September 2020 - 01:06.

Despre abstract, reprezentare si morfism.
Acum vreo 2 saptamani mi-am chemat copiii si i-am intrebat ceva care se potriveste pentru orice varsta sa vedem ce raspuns dau. Si intrebarea mea la care voiam sa ajung a fost "Ce este numarul?"
Ba ca-i o cifra, ba ca-i cu mai multe cifre. Dar poate fi si un cuvant, un buton la calculator, sau poate fi reprezentat de o multime. Adica 3 baloane reprezinta numarul 3, 5 caini reprezinta numarul 5.
Dar numarul in sine ce este? Well, evident ca nu voiam un raspuns filozofic din partea lor, dar voiam sa le dau o ocazie sa-l inteleaga raspunsul care urma sa vina.  Pe cat de logic si natural, pe atat de out-of-paradigma este. Numarul  se afla doar in capul nostru. Restul sunt reprezentari ale lui. Asta a fost ideea de baza ce voiam sa le-o inoculez in cap. Au plecat multumiti de la lectia de mate deoarece au aflat ca fiecare dintre ei insisi detin in mod unic forma platonica a acelui numar in cap. Un simbol cognitiv sa zicem. Imutabil care nu poate fi suprascris.
Acuma, conceptul asta nu-i cine stie ce mare izvor de contemplare, poate de dezbatere de scurta durata pe forurile filozofice interioare. Sau de lunga durata, interminabile pe forumuri.

Dar in lucrul cu numere, de regula ne gandim in mod automat la o operatie aritmetica ce le insoteste. Numerele in sine ca si elemente ale unei multimi nu insamna mare lucru fara a fi inzestrate cu operatii. Si as abandona temporar notiunea astracta de numar, in continuare am sa ma refer la reprezentarile lui.
Si aici as introduce notiunea de morfism. Morfism intre doua reprezentari sau intre o reprezentare si obiectul abstract insasi.
F(a+b)=F(a)ⴲF(b) este unealta matematica ce exprima conceptul de morfism. Si spune cam asa.
Sa zicem ca F(x) e o reprezentare a lui x. De exemplu un grup de 3 oi reprezinta numarul 3.
Avem un morfism intre oi si numere. F(3+4)=F(3)ⴲF(4), ceea ce inseamna mai precis:
- Adunarea matematica (cu +) a oilor reprezentate de 3+4  este o multime de 7 oi.
care e totuna cu
- Adunarea a doua multimi de oi (cu ⴲ) reprezentate pe rand de numarul 3 respectiv de 4. Aici ma refer la adunare prin punerea in aceiasi multime, facand abstractie de matematica.

De fapt morfismul asta intre numere si multimile de oi ne permit noua sa folosim adunarea matematica la adunarea oilor. Pentru ca ne da acelasi lucru,

Acest lucru de exemplu nu se intampla cu culorile. Aduni galben cu rosu si-ti da portocaliu. Pare promitator sa inlocuiesti culorile cu numere, dar rezultatul nu e corect deoarece nu exista morfism. Asta sa dau exemplu si de un caz contrar. Adunarea culorilor e si ea izmorfa, dar nu cu adunarea numerelor ci cu adunarea vectorilor. Ca idee.. nu conteaza. Ideea e ca exista mai multe lucruri cu care se poate verifica acest morfism.
Dar existenta morfismului ne asigura pastrarea unei structuri intacte intre numarul de oi si numarul matematic intreg. Nu e doar o simpla relatie de corespondenta, ea vine si cu pastrarea unei structuri.
Si din punct de vedere formal, abstract, putem echivala o clasa mare de reprezentari cu obiectul abstract insasi. Pentru ca se comporta identic. Obiectul abstract e unul, reprezentarile sunt mai multe.

Despre notiunea de grup
Am vazut mai sus ca reprezentarea unui concept abstract cum este numarul, ajuta doar in masura in care avem o operatie pe care sa o pastreze prin morfism cu reprezentarile acestui concept.
Extinderea fireasca, naturala si foarte generala a notiunii de multime de obiecte abstracte, e inspre notiunea de grup. Grupul e o multime inzestrata cu o operatie.
Matematic el trebuie sa aiba niste proprietati, toatela fel de importante, dar relevanta pentru discutia de aici e notiunea de invers. Un grup are proprietatea ca toate elementele acestuia sunt inversabile sub operatia grupului. Si inversa e unica.
Am sa dau cateva exemple simple pentru ca mai apoi am sa incerc sa explic cat de general e acest concept de grup, unde-l putem regasi si ce ar putea printre altele sa reprezinte. Ca, da, e si acesta un concept abstract care are nevoie de reprezentari pentru a deveni concret.
Am sa mai rotunjesc un pic pe la colturi sa trec imediat la notiunea de "actiune", care reprezinta o transformare intre elementele grupului, de la un element la altul.
Sa luam un grup, cel mai simplu cu 2 elemente. a si b. Pentru a respecta regulile grupuli, putem avea 2 actiuni posibile.
1. din a sa ne duca tot in a, fin b tot in b.
2. din a sa ne duca in b, din b in a.
Din cauza ca inversa tre sa fie unica, astea-s cele doua actiuni posibile.
Actiunea 1 vedem ca nu face nimic. E de fapt o non-actiune.
Actiunea 2 vedem ca ne plimba prin elementele grupului de la a la b aoi iar la a si tot asa.
Pai.. putem observa ca grupu e izomorf(adica are un morfism), cu pozitia unui intrerupator. 2 e actiunea de apasare. Apesi de 2 ori, ajungi in aceiasi pozitie.
Sau e totuna cu operatiunea de negare asupra unei valori de adevar. Fals * Fals = Adevarat.
Sau cu operatiile binare.
Sau cu operatiile din electronica digitala.
Sau cu operatia de reflectare intr-o oglinda. Reflectia reflectiei e chiar obiectul initial.

De fapt putem vedea ca orice multime de 2 stari posibile e izomorfa cu grupul acesta. Nu ne putem inchipui o alta operatie intr-o multime de 2 obiecte care sa nu respecte izomorfia grupului abstract.
Adevar-Fals, Aprins-Stins, 0-1, Da-Nu, Alb-Negru Cap-Pajura.
Fara prea muta bataie de cap, putem vedea ca orice multime de 2 obiecte in care exista un numar de actiuni, se comporta identic cu elementele rupului Z2, asa se numeste acest grup. Si reprezinta totalitatea multimilor de 2 actiuni posibile.

Pe scurt, acelasi lucru se intampla si cu 3 obiecte. Orice grup de 3 actiuni se comporta identic, e izomorf unul cu altul si grupul se numeste Z3.

Am facut o confuzie intentionata intre elementele grupului si actiuni. Dar ele in esenta sunt similare ca si comportament, dar necesita inca o harababura logica care sa le distinga, n-are rost in acest context.

Grupul cu 4 actiuni. Aici avem actiunea a->b>c>d>a similara cu , sa zicem succesiunea anotimpurilor. Daca adunam 1 anotimp avem vara-toamna-iarna-primavara si apoi se repeta. Daca adunam 2 anotimpuri avem vara-iarna respectiv primavara-toamna, ambele se repeta..
Dar avem si 2 intrerupatoare si actiunile urmatoare Apasat primul, apasat al doilea, apasat ambele si apasat nimic.
Putem vedea ca avem de-aface cu doua structuri abstracte diferite fata de chestia cu anotimpurile. Daca sa zicem apasarea primului intrerupator e echivalenta cu adunarea cu 2 anotimpuri, vedem ca apasarea celui de-al doila intrerupator nu are corespondent. Daca a insamna actiunea de apasare a intrerupatorului 1, b  celui de-al doilea, c ccand apesi ambele, 0, nimic. vedem ca a+a=0, b+b=0, c+c=0, a+b=c, a+c=b, etc.. chestie care nu se intampla la anotimpuri
N-as pedala prea mult pe chestia asta. Ideea e ca pentru o multime de 4 actiuni, exista doua structuri abstracte diferite neizomorfe una cu cealalta.  Unul e Z4, celalat se numeste Z2*Z2, asa se cheama (ala cu doua intrerupatoare)

Pentru 5 actiuni exista un singur grup.
Pentru 6 e unul,
pentru 7 la fel,
pentru 8 sunt 3 grupuri posibile.
pentru 9 sunt 2.
Nu mai continui, dar in principiu ideea de baza e ca exista un tabel de astfel de obiecte abstracte, fiecare avand ca reprezentare un grup de actiuni.


Despre cat e de generala aceasta notiune

Notiunea de grup matematic are o suma de cerinte care trebuiesc indeplinite, insa cea mai importanta e existenta si unicitatea notiunii de inversa. In rest, celelalte cerinte se indeplinesc in mod firesc de catre grupurile din afara matematicii. Pentru ca vreau sa ma refer la grupurile din afara matematicii. In primul rand la grupul de simetrii. Am amintit reflectarea intr-o oglinda ca fiind reprezentare a grupului Z2, dar orice multime de simetrii formeaza un grup. Notiunea de simetrie e foarte laxa. Faptul ca exista actiunea de a te duce la piata, exista si inversa, venitul de la piata. Ele sunt simetrice si respecta actiunile grupului. Actiunea in sine  de plimbare intre casa si piata e simetrica. Daca o faci de doua ori, e ca si cum n-ai fi facut nimic. Pleci de la piata, ajungi tot acolo. Pleci de-acasa, ajungi tot acasa.
Dar si actiunea de a face chec are o inversa, chiar daca nu exista in realitate actiunea de a transforma checul inapoi in oua sau gemul in prune, la nivel formal aceste actiuni pot exista si formeaza grup in raport cu actiunea.
Sunt si chestii mai complicate. Pui o carte pe masa dupa care mai pui un pix deasupra, operatia de a lua cartea implica modificare a pozitiei pixului de deasupra, ceea ce automat rezulta intr-o serie mai complicata de a efectua operatia inversa compusa. In mod natural daca luai pixul prima data, ramaneai cu actiunea de a lua cartea pentru a ajnge la starea initiala.
Watever, ideea de baza e ca in principiu orice multime de actiuni formeaza grup deoarece exista(cel putin la nivel cognitiv) actiunea inversa.
Orice judecata, orice transformare, orice proces, orice succesiune de pasi, orice lucru din lumea asta avand o logica interna intre actiuni, poate fi reprezentat printr-un grup.
Orice lucru fizic si metafizic, orice produs al gandirii noastre supus printr-o structura logica de alte lucruri, toate astea sunt actiuni care pot fi reprezentate printr-un grup.

Numarul lor poate fi infinit, sau finit. Cele infinite nu sunt de interes aici.

Clasificarea grupurilor simple finite.

Cum era de asteptat, grupurile astea sunt de diverse tipuri, dar se clasifica in cateva clase majore.  Si oridecateori avem un numar de actiuni care formeaza un grup, el e musai sa fie izomorf cu unul din lista. Se gaseste lista completa pe Wikipedia, dar am sa amintec eu cateva obiecte abstracte distincte cu care pot fi izomorfe multimile actiunilor noastre.
- Grupuri ciclice. Zn Pentru fiecare numar de actiuni exista un grup care practic e izomorf cu un ceas al carui cadran e facut din acele elemente, asezate in dreptul orelor. Si actiunile sunt datul inapoi sau inainte a orei. Exista acest grup de simetrie in multe din lucrurile existente. Plimbatul de exemplu e o actiune care respecta logica unui grup ciclic. De duci la piata, apoi iei autobuzul, metroul, ajungi colea, te intorci la metrou, te razgandesti, tot asa. Logica interna a acestor actiuni functioneaza dupa frameworkul unui grup ciclic.
- Sunt si alte grupuri, mai greu de gasit o reprezentare ad-hoc aici, mai ales ca ne referim la grupuri simple. Majoritatea grupurilor nu sunt simple (Am vorbit de Z2*Z2 care e de fapt un grup compus, desi unic in felul lui, e compus din doua reprezentari distincte ale 2 intrerupatoare in exemplu)
Aici e un tabel periodic al tuturor grupurilor existente. Seamana mult cu tabelul elementelor chimice ale lui Mendeleev.
 gn5cimd92mh11.jpg   362.34K   5 downloads

Reprezentare si semnificatie.
Spre deosebire de tabelul lui Mendeleev care se opreste la un moment dat din lipsa elementelor chimice (stabile), asta nu se opreste niciodata. Toate coloanele merg pana la infinit inspre in jos.

Sa luam de exemplu rotatiile in spatiu. Ele au o logica data de un grup. Si orice rotatie 2D o regasim si in 3D si ne asteptam s-o gasim si in 4D si tot asa.
In 4D mai apar si alte tipuri de rotatii, in 5D inca si mai multe. Grupurile Chevaley sunt un fel de generalizare a ceea ce intelegem noi prin rotatie.
Nu degeaba am pronuntat 2D, 3D, xD. Grupul are o reprezentare, cea mai simpla, care nu poate fi facuta decat intr-un spatiu cu X dimensiuni. De exemplu in 1D nu exista rotatia 2D. Iar rotatia 3D e de fapt o rotatie 2D in jurul unei axe 3D. Aceste chestii sunt cuprinse in mecanica grupului de rotatii din are fac parte aceste actiuni. In cazul rotatiilor simetria e una continua, nu o vom gasi in tabelul de mai sus, insa ca idee, nu ne putem astepta ca o rotatie XD sa nu fie prezenta si intr-un spatiu X+! dimensional. Noi nu ne putem inchipui o astfel de simetrie.
O reprezentare matematica fidela  se poate oricand realiza printr-un set de permutari, dar si printr-o matrice N dimenionala. Astea sunt modurile firesti de reprezentare ale unui grup. Si grupul se zice ca are o reprezentare N dimensionala. Conway vorbea despre o dimensiune a spatiului in care "traieste" grupul Monstru. La asta se referea.

Grupuri sporadice si frumusetea acestora. 26 de artefacte.

Dar cel mai interesant e ca, pe langa aceste coloane din tabel care merg fain-frumos inspre infinit, mai exista si anumite grupuri de simetrii care exista fix pentru o anumita dimensionalitate. Sunt cele 26 de patrate verszi de la coada. Alea nu se duc nicaieri, sunt fix 26, cel putin asa zice o teorema la care s-a muncit vreo 30 de ani, posibil sa fie corecta, in atatea mii de pagini e posibil sa se fi strecurat si o greseala.  De ce 26? Se ce exista ana si unul singur? Nu stiu cine ar putea raspunde satisfacator la aceasta ntrebare. Natura intima a lucrurilo pare sa aiba aceasta chestie, sa fie o semnatura a universului conceptual?

Primul e grupul lui Mathiew care a fost descoperit inainte de 1900 si care traieste doar in universul cu 11 dimensiuni. Aici prin univers ma refer nu neaparat la universul fizic ci orice spatiu mental/conceptual cu dimensionalitate 11.
Un anume set de actiuni in numar de 7920, formeaza o simetrie ciudata care nu e formata de universul cu 7921, nici in cel superior, imposibil de imaginat cum e posibil acest aspect si ce anume face ca aceste lucruri sa existe in insasi spatiul conceptual, generat nu de lumea fizica sau metafizica, ci de insasi arhitectura cognitiva. Pentru ca aceste obiecte abstracte exista si fara reprezentare anume. Matematicienii au reusit sa reprezinte unele grupuri sporadice, dar cele mai mari sunt imposibil de reprezentat, e nevoie de toti atomii din univers si mai mult de-atat. Dar nu conteaza, important e ca ele exista in lumea pura a ideilor si mai mult trebuie sa reprezinte ceva aceste lucruri, trebuie sa aiba o insemnatate, posibil sa fie bine indesate in structura universului undeva la capatul intelegerii umane, sau sa fie doar o semnatura a modului uman de gandire care sa ne scoata in afara paradigmei.
Ideea e ca aceste simetrii nu provin din nimic altundeva decat din logica pura, fara cerinta unui suport fizic, fara cerinta unei reprezentari. Sunt rezidente in inssi structura logica a sistemului cognitiv uman si sunt asa de complexe incat sunt foarte greu de admirat, sunt ca niste artefacte in insasi aparatul logic dezvoltat de catre noi, asa cum e el, cu premisele lui care par a fi cat se poate de generale.

Grupul Monstru e unul dintre aceste grupuri sporadice. Se asteapta ca elementele acestui grup sa constituie o simetrie care nu poate fi intalnita vreodata de catre oameni atata timp cat traim in acest univers. Deoarece are un numar colosal de actiuni, cam cat numarul de atomi din univers.
Asta pe de-oparte.
Insa pe de alta parte apare intr-o alta parte a matematicii, complet rupta de teoria grupurilor ca si semnatura. Monstruos Moonshine e conceptul, cred ca inventat de Conway, nu conteaza, dar elementele de semnatura ale acestei simetrii cu totul si cu totul speciale ar trebui sa nu apara niciodata in vre-un rationament uman, si uite totusi ca apare intr-un mod total inexplicabil si fascinant de aflat intr-o arta parte obscura a matematicii, teoria formelor modulare.

Deci, despre aceste 26 de obiecte voiam eu sa spun ca reprezinta frumusetea in forma ei cea mai pura, un grup unicat de simetrii, sau poate un simplu artefact al arhitecturii cognitive umane.
Ceva important trebuie sa fie reprezentat de catre aceste obiecte, dar nu stim ce. Si merita in aceiasi masura cu cautarea divinitatii, cautarea rostului acestor lucruri. Poate sunt unul si acelasi lucru, cine stie?

Edited by maccip, 14 September 2020 - 03:09.

Legatua cu arta si cu minimalismul

Da, eu vad o legatura. Un prim argument tine de modul in care vedem simplificarea obiectelor complexe, inlaturarea banalului, predictibilului din ele, golirea totala de reprezentare pana in punctul unde nu se mai poate face nimic, in zona simbolului imuabil. Este un algoritm similar cu algoritmul de descompunere a unui obiect complex in simetrii banale si acele simetrii unice, artefacte cum le-am zis eu.
Pare complicat la ce se ajunge, dar in esenta, paradoxal asta inseamna simplificare pana la ireductibil.
N-o fi obiectul de arta un grup algebric, de acord, insa procedeul ofera o referinta solida, in ceea ce inseamna simplificare prin inlaturarea a ceea ce e predictibil si cunoscut pana intr-acolo unde nu mai poti face nimic altceva decat sa observi, sa fii uimit.

Si pentru mine drumul a fost invers. Eu am fost mai intai fascinat de faptul ca astfel de lucruri exista prin ele insele(ghidat de catre Conway, in care am crezut), pentru ca mai apoi s ma apuc sa inteleg cum anume se sapa pentru a ajunge la ele.
Asta-i motivul pentru care am invatat teoria grupurilor pana intr-un anumit punct si asta-i motivul pentru care acum invat teoria reprezentarii.
Nu ma intereseaza matematica pentru calcule. Eu am alta meserie, n-am ce face cu o astfel de matematica in meseria mea.
Dar ma atrage frumusetea, contemplarea fata de obiecte fizice sau metafizice, structuri in gandirea conceptuala, raportul cu fibra primordiala din care e facuta realitatea exterioara poate pentru a cunoaste mai bine eul interior si raporturile personale cu divinitatea. Divinitatea intr-un sens mai larg, nu ma refer la zei aici, din punctul asta de vedere sunt perfect ateu, dar in sens mai larg sunt agnostic.

Edited by maccip, 14 September 2020 - 03:33.