problema lui d'Hauteserve

Problema lui d‘Hauteserve: într-o urnă sunt 6 bile numerotate 1,2,3,4,5,6. Se extrag 3 bile, se noteză numerele de pe bile și se repun cele trei bile înapoi în urnă. Se efectuează extragerea cu întoarcere de trei ori la rând. Care este probabilitatea ca toate cele 6 numere să iasă în cele trei extrageri?

Rezultatul lui d'Hauteserve este 4.792/14.400.
Rezultatul meu este altul.  


(Traite elementaire sur les probabilites (1834), pag. 20.)

Edited by prodcomb, 27 December 2018 - 10:15.

 prodcomb, on 27 decembrie 2018 - 09:59, said:

Pai care este si cum ai ajuns la el ?

Rezultatul din carte este greşit. O simplă numărare cu Maple dă rezultatul corect.
A:=combinat:-permute(6,3):
add(add(add(`if`(nops({a[],b[],c[]})=6,1,0),a=A),b=A),c=A)/nops(A)^3;

   147/400

 prodcomb, on 27 decembrie 2018 - 09:59, said:

Numarul total de posibilitati (echiprobabile) la o singura extragere este C₆³ = 20. d'Hauteserve considera in schimb si ordinea de extragere a celor 3 bile ca fiind relevanta, ceea ce multiplica numarul de cazuri cu 3! = 6. Ordinea este ininfluenta, multiplica toate numerele din problema cu 6.

- numarul total de posibilitati de extragere este 20³ = 8000
- sa presupunem ca la prima extragere ies bilele 1, 2, 3 (cazurile favorabile sunt deci cele in care la extragerile 2 & 3 ies cel putin o data bilele 4, 5 si 6)
- la extragerea a doua pot iesi:
->  0 bile din {4,5,6} (adica ies din nou bilele {1,2,3}), se realizeaza intr-un singur mod, ceea ce furnizeaza un caz favorabil daca la extragerea a treia ies fix {4,5,6}
-> exact 1 bila din {4,5,6}, sa zicem bila 4. Acest rezultat se poate obtine in 3 moduri distincte ({1,2,4}, {1,3,4},{2,3,4}). La a treia extragere trebuie sa avem bilele {5,6} ceea ce furnizeaza 4 cazuri distincte favorabile ({1,5,6}, {2,5,6}, {3,5,6}, {4,5,6}).
In total, aceasta varianta furnizeaza 3*4 cazuri favorabile corespunzatoare bilei 4 si deci 3*3*4 = 36 de cazuri favorabile corespunzatoare extragerii unei bile oarecare dintre {4,5,6} la extragerea a doua
-> exact 2 bile dintre {4,5,6}, sa zicem {4,5}. Acest rezultat se poate obtine in 3 moduri distincte ({1,4,5}, {2,4,5}, {3,4,5}). La a treia extragere trebuie sa avem bila 6 ceea ce furnizeaza 10 cazuri favorabile ({1,2,6}, {1,3,6}, {1,4,6}, {1,5,6}, {2,3,6}, ... , {4,5,6}).
In total, aceasta varianta furnizeaza 3*10 cazuri favorabile corespunzatoare bilelor {4,5} si deci 3*3*10 = 90 de cazuri favorabile corespunzatoare extragerii a doua bile oarecare dintre {4,5,6} la extragerea a doua
-> exact 3 bile {4,5,6}. Evident, acest rezultat se poate obtine intr-un singur mod, iar ceea ce se intampla la a treia extragere nu mai conteaza, ceea ce inseamna alte 20 de cazuri favorabile.
Sumam aceste numere: 1 + 36 + 90 + 20 = 147.
Ne aducem aminte acum ca la prima extragere am ales sa iasa bilele {1,2,3}, dar in realitate poate fi oricare combinatie dintre cele 20 (cu o analiza perfect similara). Deci numarul total de extrageri favorabile din problema este 147*20 = 2940.
Probabilitatea cautata este asadar 2940/8000 = 147/400 = 0,3675.

Rezultatul lui d'Hauteserve este deci gresit, el face un calcul complicat cu tabele insa greseste pe undeva cu un factor 6 lipsa ceea ce il conduce la un rezultat care nu se simplifica (acel 14400 trebuie sa se reduca la 400 iar aceasta se poate doar daca la numarator avem un numar divizibil cu 36, adica 5292 pentru a da rezultatul corect). Anul era insa 1834, d'Hauteserve putea sa isi permita sa mai si greseasca

LE - problema apare cu aceasta rezolvare gresita in Traité élémentaire sur les probabilités, ed. Bachelier - 1834; exista si o "errata" care insa nu corecteaza toate inexactitatile din cuprinsul lucrarii...

Edited by mdionis, 27 December 2018 - 11:13.

Mulțumesc de ajutor.
Nu eram lămurit dacă configurația 0-3-3-0 aparține și ea soluției, în afară de 0-4-1-1.
Astfel suma celor două probabilități este: 0,2325 + 0,1350 = 0,3675.

Așa este, din păcate d'Hauteserve a greșit.

O altă problemă din cartea lui d'Hauteserve se referă la extrageri 5 din 90. Întrebarea este de câte extrageri 5 din 90 este nevoie pentru a apare toate cele 90 numere.
Răspunsul lui este 85 extrageri.
Eu am folosit distribuția binomială și mi-au ieșit 90 extrageri.

Aceeași întrebare pentru extrageri 6 din 49. Mie mi-au ieșit 35 extrageri, folosind tot distribuția binomială.

Enunţul corect este (probabil, căci nu am avut răbdare să caut în carte):
Să se găsească numărul maxim de extrageri 5 din 90 pentru care probabilitatea de a apărea toate cele 90 de bile să fie < 1/2.
În acest caz răspunsul corect este 85.

 prodcomb, on 29 decembrie 2018 - 16:01, said:

Nu tocmai. Raspunsul la intrebarea formulata mai sus este evident "o infinitate".
Pe de alta parte, formularea originala a lui d'Hauteserve este urmatoarea:

La lotérie se compose de 90 numéros, un tirage se compose de 5 numéros. On demande en quel nombre de tirages il y a probabilité égale que les 90 numéros de la loterie sortiront.

Chiar daca este prost scrisa si in franceza, se intelege ca omul se refera la probabilitati egale de a iesi sau nu toate cele 90 de numere, adica, reformulat in mod decent, probabilitatea sa iasa toate cele 90 de numere este 1/2 (mai precis: "cat mai apropiata de 1/2", pentru ca e greu de crezut ca un numar complicat se reduce la un moment dat ca prin miracol la fractia 1/2).

Quote

Diferenta intre ceea ce calcula d'Hauteserve si ceea ce facem noi astazi nu ar trebui sa mai constituie subiect de polemica intrucat rezultatele lui nu sunt cine stie ce de incredere.

Sa facem totusi estimare rapida: fie n numarul de extrageri cautat si p probabilitatea extragerii cel putin o data a unui numar dat din cele 90 in cele n extrageri. Probabilitatea extragerii tuturor celor 90 de numere in n extrageri este p⁹⁰ = 1/2 de unde p = 2^(-1/90)
Pe de alta parte, probabilitatea de a extrage cel putin o data un numar dat in n extrageri este p = 1- (17/18)ⁿ de unde rezulta ecuatia 1 - (17/18)ⁿ = 2^(-1/90) si deci n = log_(17/18) (1 - 2^(-1/90)) = 85,20479...

Quote

n' = log_(43/49)(1 - 2^-1/49) = 32,6549...

Edited by mdionis, 29 December 2018 - 19:02.

Nu are importață faptul ca se extrag 5 din 90, respectiv 6 din 49? Adică nu se regăsește 5 respectiv 6 în formule.
Distribuția binomială indică pentru:
89 extrageri (5 din 90) 0,556 numere care nu au apărut
90 extrageri (5 din 90) 0,525 numere care nu au apărut
91 extrageri (5 din 90) 0,496 numere care nu au apărut
de aici și răspunsul meu.

Prin simulare rezultatul este 89,86 extrageri 5 din 90 în care apar toate cele 90 numere. Minim a fost 43 extrageri iar maximul 274 extrageri. Deci nu „infinit”.  

Edited by prodcomb, 29 December 2018 - 20:16.

 prodcomb, on 29 decembrie 2018 - 19:56, said:

17/18 = 1 - 1/18 = 1 - 5/90
43/49 = 1 - 6/49

Quote

... la o alta intrebare: dupa cate extrageri, valoarea asteptata medie a numarului de bile numarate disticte extrase difera de totalul bilelor cu mai putin de 0,5?

Quote

Aiaiai! Cate simulari au fost in total? E clar ca nu ne putem astepta in mod realist sa avem o succesiune in care sa fie nevoie de o infinitate de extrageri pentru a obtine toate cele 90 de numere. Nu se obtine o coada de distributie extrem de improbabila cu un numar rezonabil de simulari.

M-am lămurit. De aceea și pun întrebări.
Am simulat 1.000.000 extrageri 5 din 90, fiecare serie oprindu-se când au apărut toate 90.
Am greșit și am luat valoarea medie a valorilor respective în loc să iau maximul distribuției. Maximul se situa acolo unde trebuie.
Am zis și eu ”Aiaiai!”

P(85) = probabiltatea de a avea toate cele 90 de bile dupa 85 trageri, are valoarea exactă:

42382751217364264452767524239787486538049698221765840470048010021083914395668053983064757928185257729649913544697109827790782475727980208385431202259111241750963568523527162803634076848190673845803021161543063574172591948623183115792424596215710243960799808555462882043890708160715982533501261835554260456639038235401292841609497623958750940860743899759067055195437035660789332731117451421284617387682459044223704404441999524911569838353830192694366081122199230734001068109098789952415854610584683027918644023725330224062768327104849102510248262258554570904717548658304776662429341847628768888015784950052092128125/
86654746382205877973933600620020689898634466343329604631178996884096586307339389121412886127256624133444114066941304770997798539168940585163898692527383628402011327783783877074097989597828613488089868356343923061580997478481869597336388732276582514072708857671382813803134302868742698790155762107656237711128342923730004437992236504040456037874844884953624411037572644985606965127653851933129041240603809263495541310962884950852774601311638154236243497325732967853906433575399938395752486802155507304179517531063869264123596399484339233466673436674770247543521874348440059386480800458129650292098963642939231698944
adică  0.489099016...

Ar fi interesant graficul distribuței valorilor, care are maximul la 85,205; și care este valoarea maximului.

 vvilmos, on 29 decembrie 2018 - 21:38, said:

Așa numere mari (615 cifre fiecare) și așa puține zecimale!  

Zecimalele date se obțin doar cu primele 9 cifre ale fiecărui număr.

Edited by prodcomb, 30 December 2018 - 09:03.

 prodcomb, on 29 decembrie 2018 - 21:53, said:

 probabilitate_extragere_5_90.jpg   11.33K   2 downloads

Evident nu e un maxim: 85,205 e doar valoarea aproximativa la care probabilitatea ca toate cele 90 de numere sa fie extrase ia valoarea 1/2.

Derivata functiei din figura are insa un maxim:

 derivata_probabilitate_extragere_5_90.jpg   15.25K   2 downloads

pe aproape de 78,6 , lipsit de relevanta pentru chestiunea discutata.

Edited by mdionis, 30 December 2018 - 11:37.

 prodcomb, on 30 decembrie 2018 - 09:00, said:

Este vorba de valoarea exactă! Trebuie subliniat că deşi evaluarea folosită în carte (şi de mdionis) este utilă, este greu de calculat abaterea sa de la valoarea exactă.

Curbele teoretice arată frumos; cele rezultate din simulare sunt „zdrențuite”.

Mulțumesc!  

OBS. Pentru p = 1/500 (în loc de p=1/2), aproximarea dă n=47 iar răspunsul corect este n=49.