Spatii vectoriale

Daca desenez un punct care este de fapt sageata unui vector , ce inseamna sa mut punctul 10 casute in dreapta din punct de vedere al operatiilor cu vectori? Ce inseamna casute? Ce inseamna ,,a muta"?

Vectorul v exprimat folosind baza standard din R² si folosind o alta baza

https://en.wikipedia...ki/Vector_space

[ https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a6/Vector_components_and_base_change.svg - Pentru incarcare in pagina (embed) Click aici ]

Mutat 10 casute in dreapta ar fi (x + 10)e₁ + y e₂;

 dani.user, on 28 noiembrie 2017 - 20:00, said:

si atunci o casuta inseamna matricea 1 0 // 0 1  ??? iar mutatul inseamna ca se inmulteste la stanga un vector cu o matrice??

Nu mai retin exact termenii matematici, dar avem printre altele:

Matrice de translatie: https://en.wikipedia...ation_(geometry)
Matrice de rotatie: https://en.wikipedia...Rotation_matrix
Matrice de scalare: https://en.wikipedia...aling_(geometry)#Matrix_representation

Cel mai rapid exemplu ce-mi vine in minte din practica e cand desenezi pe calculator: ai un cod ce deseneaza un patrat de exemplu intre coordonatele (-1,1), (1, 1), (1, -1), (-1, -1). Vreau sa desenez acel patrat in alta parte? Folosesc o matrice de translatie. Vreau si o rotire la 45 de grade? Aplic si o matrice de rotatie, etc.

Edited by dani.user, 28 November 2017 - 21:48.

Intrebarea e buna.
Pentru ca sunt 2 tipuri de "mutat"
-Mutatul Activ: Gandeste-te ca vrei sa muti o minge pe o scena 3D dintr-un joc pe computer.
-Mutatul Pasiv: Mingea ramane pe loc, dar "muti" sistemul de coordonate, centrul de perspectiva, etc..
Ambele operatii se fac printr-o simpla adunare de vectori, dar semnificatia fiind fundamental diferita.

Unde foloseste semnificatia?

Daca ai 100 de vectori pe care tre sa-i "muti" in aceiasi directie, probabil ca ti se cere mutarea sistemului de referinta.
Daca ai 100 de vectori, unul dintre ei tre sa-l "muti" probabil ca se doreste o "mutare activa"
In general pe un calculator(intr-un joc) se folosesc ambele tipuri astfel, relatiile amtematice sunt aceleasi dar:
- mutarea activa e facuta cand tre sa muti mingea, ca raspuns la o ciocnire sau ceva.
- mutarea pasiva cand vrei sa muti ecranul cu totul, sau punctul de perspectiva. alea sunt facute ca raspuns la desenarea ecranului.


Exista confuzia asta, intrebarea nu e rea. Dar confuzia e mai degraba legata de "algoritmul" de folosire al aparatulu matematic, aparatul matematic fiind identic(pentru un punct).

 maccip, on 28 noiembrie 2017 - 22:24, said:

dar o matrice ce semnifica de fapt? de exemplu in sistemul de axe xOy din spatiul 2D ce inseamna inmultirea unei matrice cu un vector? va rog sa imi ziceti ce se intampla pe axe si la fel si produsul a doi vectori

Bun... deci vad ca preferi sa-mi scrii in privat, eu nu mai sunt dispus sa-ti raspund in privat pe diverse probleme.
E forum, nu e o rusine sa intrebi ce-ai de intrebat. Ignora troloo si vezi-ti de treaba ta, sunt mai multi pe-aici care stiu sa-ti dea un raspuns, nu trebuie sa te agati de gatul meu.

Quote

Prima chestie, in ce clasa esti? Sau.. cati ani ai, ce pregatire, sa stiu cum raspund astfel incat sa intelegi.

 maccip, on 28 noiembrie 2017 - 23:15, said:

sunt anul I la facultate si ma intereseaza in sistemul de axe xOy ce se intampla cand inmultim un vector cu o matrice si doi vectori? ideea e aceeasi in orice sistem

 hellocefaci, on 28 noiembrie 2017 - 23:10, said:

O matrice nu semnifica nimic. Deci chiar nimic. E o chestie matematica cu numere asezate fain frumos unele langa altele.
Ea se foloseste.

Abia atunci cand se foloseste capata semnificatie.


La fel.. Un spatiu vectorial nu semnifica nimic. E o chestie matematica care vine cu un pachet de proprietati.

Cand folosesti acel spatiu vectorial la ceva anume, atunci el capata semnificatie. Adica obiectului matematc ii atasezi o semnificatie.
Strategia e urmatoarea:
1. Faci acel obiect al realitatii, fizic, sau chiar tot matematic, sa respecte cerintele unui spatiu vectorial. Sau verifici daca respecta cerintele.
2. Atasezi semnificatia elementelor matematicii cu elementele pe care vrei tu sa le studiezi. Deci TU spui ca vectorul X e o viteza. Sau o pozitie a unui punct pe un plan, Sau e doar o pereche de numere. Sau o culoare RGB, sau ceva... Orice, dar acel orice tre sa respectele cerintele spatiului vectorial (vezi care-s alea, snt in definitia acestuia)

3. Te folosesti cu incredere  de orice proprietate cunoscuta a spatiului vectorial. Asta-i de fapt scopul. Daca te asiguri ca chestia ta poate fi asemuita cu un spatiu vectorial, atunci vei putea folosi toate proprietatile abstracte ale acestui obiect matematic. Free! Fara niciun cost. Fara bataie de cap. Pur si simplu ZBANG si gata!


Cam asta-i ideea in matematica. Obiectele matematice sunt ABSTRACTE. Ele functioneaza indiferent! Insa le lipseste semnificatia fizica.

Exemplu banal.
A. Multimea numerelor naturale. E un obiect matematic abstract. Cu proprietati. E inzestrat cu operatii de adunare, scadere, inmultire, impartire, etc. Are operatori de comparatie (5<6, etc). Si o gramada de multe alte proprietati. Numere prime, patrate perfecte, etc.

B. O cireada de vaci. Stau si mugesc ca vacile. N-au nicio proprietate. Mananca si balega.

C. Aici vine magia. Testezi intai daca in principiu multimea vacilor are ceva in comun cu multimea numerelor naturale. In principiu nu tre sa aiba altceva decat sa fie numarabila.
Te uiti la cireada, te uiti la multimea abstracta N, te mai uiti la cireada inca o data, te mai uiti odata la N si-ti vine o idee. Baaaaa, cireada e de fapt N.
Ei bine, atunci se cheama ca ai dat o semnificatie obiectului matematic. 1= o vaca, 2= 2 vaci, etc..

D. Te-apuci si folosesti cu incredere proprietatile aritmeticii pe N, transpuse pe cireada. Faci patrate perfecte de vaci, le aduni, faci impartiri cu rest. Le asezi in spirale, in triunghiul lui Pascal. Devii un fel de lords of the cows, doar cunoscand proprietatile obiectului abstract N.

Ma rog, nu-i fix asa cum ti-am zis. E vorba despre o intreaga algebra acolo, dar retine ideea, n-o stresa ca nu-i 100% corecta.


Cu spatiile astea vectoriale exista ceva confuzii. Ba-s matrice, ba nu mai sunt, ba-s sageti, ba se misca, ba stau cu curul in origine. Daca vrei sa continuam, te pot ajuta sa intelegi care-i povestea.
Dar .. vezi definitia spatiului vectorial. Ala e un spatiu vectorial. Definitia lui. Nimic mai mult.
Apoi.. vectorii aia, perechile de numere, matricile,-> toti astia pot fi vectori intr-un spatiu vectorial. Daca vrei tu asta. Pentru ca tu le acorzi semnificatia.

 maccip, on 28 noiembrie 2017 - 23:34, said:

nu m-am facut inteleasa, eu am intrebat ce se intampla intr-un sistem xOy cand se inmulteste o matrice cu un vector? si de ce nu se poate inmulti matricea la dreapta cu vectorul respectiv?

In linkurile ce ti le-am dat iti arata exemple de matrici si ce se intampla la inmultirea cu vectori.

 hellocefaci, on 28 noiembrie 2017 - 23:17, said:

Aham.
Deci... exista spatiul vectorial al elementelor de tip (x, y), perechile de numere reale. Pentru ca ai definite adunarea si inmultirea cu un scalar intr-un anume fel care respecta cerintele de linearitate.
Adica ai a(x, y)+b(z, t)= (ax+bz, ay+bt) pentru orice a, x, y, z, t, b. Cam asta-i cerinta pentru a fi spatiu vectorial. Mai era ceva cu element neutru, comutativitate parca dar nu mai stiu exact, am terminat scoala de mult. Am retinut ideea din spatele conceptului, nu definitia exacta. Aia o gasesc oricand pe google, de aia nu-mi bat capul. Tu insa esti elev, tre sa-ti bati capul.

Tot acea pereche, poate fi vazuta si ca un vector in plan. De data asta e un vector din ala de la fizica, nu de la matematica. Adica o sageata de la origine catre coordonatelel (x, y)
Sau de catre matrici linie (x, y). Seamana ca o pereche de numere, dar de fapt e o matrice de 2x1. La fel.. poate fi vector coloana 1x2, n-am cum sa-l scriu aici, dar iti inchipui cum arata banuiesc.

Bun!

Acum.. spatiul asta vectorial are o sumedenie de chestii prin el.
Versori.
Baza.
Linear independenta.
Vectori ortogonali.
Baza ortonormata.
Printre care si chestia numita "operator", operator care e o masina careia ii introduci un vector pe-o parte si-ti scuipa un alt vector pe cealalta parte.
Aia poate foarte bine fi reprezentata printr-o matrice.

De fapt, tot ce inseamna spatiu vectorial e facut manusa pentru a putea fi reprezentata matriceal. Exista un izomorfism intre orice tip de vector si corespondentul matriceal.
De aia poti lucra matriceal. Operatorul de care vorbeam e de fapt inmultirea cu o matrice.

Ce semnificatie are? Niciuna.
Retine, obiiectele matematice nu au semnificatie.

Insa, daca acorzi tu semnificatia unui spatiu 2D sa fie vectori in plan, atunci acele matrici capata semnificatia unei transformari 2D.
Transformare afina, rotatie.
NU trnaslatie, atentie!!!
De ce?
Pentru ca.. tu ai dat semnificatia lui (x, y) ca fiind o sageata din (0, 0) in (x, y).
Deci n-ai cum sa translatezi, originea tre sa ramana (0, 0). Pentru vectorii care incep din (sa zicem) (3, 5) poti construi alt spatiu vectorial care sa poarte aceasta semnificatie.
Nu va mai fi acelasi cu primul.
E o chestie de nuanta, de multe ori se foloseste fara discernamant chestia asta, dar uneori poti avea probleme.
Deci translatia nu e un operator.
Bineinteles ca poti gandi un spatiu vectorial care sa aiba si translatie in el. Dar tre sa o faci astfel incat sa respecti cerintele spatiului vectorial.
Nu vei avea insa semnificatia unei sageti cu originea in (0, 0).
Depinde tu cum vrei sa o faci.



Si hai sa inmormantam toat apovestea cu un :
RECVIEM:
Cand ai o problema de vrei s-o scrii pe forum, TU esti obligat sa descrii semnificatia vectorilor impliicati. Tu spui ca x=4 reprezinta numarul de oi din turma.
Altfel nu vei avea raspunsuri corecte, fiecare va  presupune ce vra elsa presupuna.
Nu Vom intelege sa te putem ajuta. Vectorii astia sunt ceva mai complecsi decat numerele naturale, nu le putem acorda semnificatia asa de usor.
Mai ales ca pot fi parte a unui camp vectorial, care e total alta mancare de peste decat spatiul vectorial.
Daca tu spui doar "vector", nu te poate nimeni ajuta, poate decat unul care cunoaste materia de anul 1 de la facutlatea ta si stie exact la ce te referi.

De aia o problema

 hellocefaci, on 28 noiembrie 2017 - 23:37, said:

rezulta alt vector.

Sau .. poti spune ca transofrmi vectorul initial.
Tu stii exact, tu acorzi semnificatia.

Ti-am zis, chestia cu pasiv si activ.

O transformare poate fi activa cand efectiv muti vectorul dintr-o pozitie in alta. Folosind acea matrice.
Sau..
Muti sistemul de coordonate, vectorul sta pe loc.


TU ACORZI SEMNIFICATIA OPERATIEI MATEMATICE ABSTRACTE.
Operatia matematica, nu face decat sa scuipe alt vector.

Dspre inmultirea la dreapta, la stanga.

Ai regulile de inmultire cu matrici. Numarul de coloane al primului termen(factor al inmultirii), tre sa fie egal cu numarul de linii al celui de-al doilea termen.
Asa-i definita inmultirea matricelor.
E o conventie. Nimic obscur sau magic.

De aia, daca avem de-aface cu vectori linie, operatorii se aplica la dreapta.
Daca ai vectori de tip coloana, operatorii se aplica la stanga.

 maccip, on 29 noiembrie 2017 - 00:09, said:

si un vector linie cum se reprezinta in sistemul xOy?

 hellocefaci, on 29 noiembrie 2017 - 00:06, said:

Cum inmultesti tu 2 matrici linie sau doua matrici coloana?????
Nu exista inmultirea a doi vectori..

Exista insa produsul scalar, produsul vectorial, produsul extern, etc...


Produsul scalar dintre 2 vectori U si V de tip matrice linie este un scalar(un numar) care poate fi calculat folosind inmultirea matricilor cam asa:
s= UV^T=VU^T
La fel, si asta poate fi definit in fel si chip. Insa cam asta-i definitia uzuala.


Daca ai vectorii U si V de tip matrice coloana, atunci produsul scalar e un numar s:
s=U^TV=V^TU.
Aceiasi Marie, cu alta palarie.

Daca ai vectori U V din fizica,(adica viteze, vector de pozitie, forta, un vector dintr-un camp electric, samd..)
s=U.V
Adica e fix definitia din fizica.

Ele sunt functional acelasi lucru, aceiasi Marie cu alta palarie. Dar dupa cum vezi creeaza confuzie. Confuzia provine din semnificatia diferita a ceea ce inseamna Vector.

 hellocefaci, on 29 noiembrie 2017 - 00:15, said:

In mai multe moduri. Tu hotarasti semnificatia vectorului. Cateva exemple:
- 1 punct de coordonate (x, y) intr-un plan. Coordonatele alea de la geometria analitica.
- O sageata din (0,0) catre (x, y)
- O sageata incepand de la orice coordonata (a, b )catre (a+x, b+y) Gandeste-te ca multimea tuturor sagetilor care incep din (a, b ) formeaza un spatiu vectorial, respecta toate regulile acestuia.
- 1 punct aflat la o coordonata (a+x, b+y), cu a si b constante reale fixate. La fel ca mai sus.

Deci ai ceva variante de reprezentare. Tu chiar nu vrei sa intelegi ca TU alegi cum sa reprezinti. Notiunea abstracta de spatiu vectorial nu-ti impune nicio limita a imaginatiei.
Ea opereaza pe ORICE spatiu vectorial. Nu are pretentii.

De aia, tu tre sa vii cu spatiul vectorial, cu semnificatia, cu reprezentarea.
Si formalismul(teoria) functioneaza in mod automat.

Regula pe forum e ca sa nu citezi pe cel dinaintea ta. Se intelege ca vorbesti cu el. Eventual citezi doar o chestie pe care n-ai inteles-o.

Deci... reguli si aici.

Te cam chinuie tare problemele astea cu vectori si matrici. De cateva luni de zile tot stai pe ele si vad ca-ti scapa ceva sa le intelegi.

Edited by maccip, 29 November 2017 - 00:29.

 hellocefaci, on 29 noiembrie 2017 - 00:15, said:

In matematica superioara, spatiile vectoriale ( in particular cele normate ) au importanta practica intre altele in rezolvarea unor ecuatii ale fizicii matematice, (care modeleaza lumea materoiala din jurul nostru).
Modelul vectorial bidimensional este util pentru a intelege niste definitii, care se generalizeraza si se abstractizeraza tot mai mult.
Matematica superioara se face pe definitii si teoreme, si pe masura ce avansezi nu mai ai reprezentare intuitiva (in particular geometrica) a ceea ce faci; poate doar in cadrul unor exercitii de seminar (cazuri simplificate sau exemple de acomodare).

In clasa a XI la algebra, a matricele si determinantii le-ai folosit de exemplu cand ai vorbit de rezolvarea si dicutarea sitemelor de ecuatii liniare ( m ecuatii cu n necunoscute). Folosind teorema lui Rouche: studiai daca exista solutia sau nu, daca este unica sau exista mai multe solutii. Intr-un sistem m x n ecuatii interesul cadea pe rangul matricei, rangul matricei extinse, si cele ce derivau de aici.

Dilemele tale: "dar o matrice ce semnifica de fapt? de exemplu in sistemul de axe xOy din spatiul 2D ce inseamna inmultirea unei matrice cu un vector?" capatau un sens particular nefiind relevante si nici utile in cadrul acestei teorii: matricea reprezenta coeficientii sistemului. vectorul liber necunoscutele sau vectorul termenilor liberi parte din dreapta sitemului de ecuatii; teoremele care duceau la Teorema Cramer, T Rouche iti permiteau sa discuti compatibilitatea sistemului, chiar si in cazul in care ai fi avut niste parametri.

In mod similar spatiile vectoriale / normate au importanta fundamentala in diverse ramuri ale matematicii. Ori acolo nu se mai pun problemele pe care ti le pui tu. Spatiul vectorial il gandesti ca un obiect matematic  cu niste proprietati (la care mai adaugi proprietati), care il folosesti intr-o constructie / teorie matematica - un punct de pornire.

Exemplu: Analiza matematica pe Spatii Banach. Teoremele ei particularizeaza pt RxR da analiza matematica de liceu. Dar prin particulatizari poti obtine si teoremele din analiza matematica pe RxRx....R cum se facea intr-o vreme la Politehnica - o forma simplificata cu aplicabilitate in tehnica. In toate poti defini vectorul, sirul Cauchy iar teoremele spatiile Banach devin teoreme pe RxR, ...
Si toate au in comun conceptul de spatiu vectorial.

https://ro.wikipedia...

Edited by RomeoM, 29 November 2017 - 10:55.