vectori

buna seara! imi puteti da un exemplu de produs scalar din viata de zi cu zi? adica ce reprezinta (3,4) inmultit cu (2,1)?

In titlu ai vectori, in cerinta ai scalar
pana la urma care este ?

MarianG, on 28 septembrie 2017 - 17:40, said:

produsul vectorilor este un scalar..

vorbim de matematica sau de fizica ?

MarianG, on 28 septembrie 2017 - 17:48, said:

de ambele

hellocefaci, on 28 septembrie 2017 - 17:45, said:

la fel si produsul scalarilor -- tot scalar este
iar coordonatele nu reprezitna un vector

MarianG, on 28 septembrie 2017 - 17:56, said:

pe mine ma intereseaza un exemplu din viata de zi cu zi? cred ca in sistemele liniare ajuta asta dar puteti sa imi dati un exemplu cum ar fi La un magazin cumparam 2 kg de rosii si 1 kg de ardei si costa fiecare......sau ma rog, altceva..si cand folosim produsul scalar in exemplul dat?

Calculul fortei Lorentz

MarianG, on 28 septembrie 2017 - 18:07, said:

si la matematica un exemplu de produs scalar a doi vectori si cand se foloseste?

https://physics.stac...duct-of-vectors

Cred că știu ce intreabă inițiatorul. Caută mai repede exemple concrete. Gândește-te la două intrebări:

1. Ai un sistem de coordonate xOy, și un punct P(2,3). Deseneaza! Vreau să-l ,,muți” (punctul) <in dreapta> 10 căsuțe. Ce inseamnă această deplasare? Cum o exprimi în mod uniform? Mută punctul acuma <in jos> 10 căsuțe. Ce înseamnă <in jos> ? Ce inseamna <căsuțe> ? Ce inseamna ,,a muta" ?
si acum trecem in viata reala

2. Esti in loc, si vrei sa mergi ... la piață. Ce înseamnă din punct de vedere temporo-spațial această deplasare?

Dacă poți răspunde la toate întrebările (corect), in mod categoric se regăsește și noțiunea de vector (printre ele). Apoi continui cu vectorii 2D, 3D ,șamd

Edited by Rhesus, 28 September 2017 - 19:00.

Rhesus, on 28 septembrie 2017 - 19:00, said:

la 1. deplasarea inseamna ca mut varful vectorului in dreapta cu 10 casute . a muta = a deplasa varful, 2. inseamna ca plec de la timpul 0 s si 0 m si ajung dupa un timp t si o distanta d, daca gresesc va rog sa ma corectati, iar la 1 nu prea am inteles

Ultra-Teoretica(adica teoria generala):
Un produs scalar este o functie care se aplica asupra a doi vectori (ca si parametri) dintr-un spatiu vectorial normat (adica in care ai o (unitate de) masura asociata), care satisface anumite conditii:
1: f: (V V) -> R, unde V este un spatiu vectorial normat, R numar real
2. f(x, y)=f(y, x), pentru orice x, y
3. f(x, x)=|x|>=0 pentru orice x, |x| fiind norma vectorului (similara cu lungimea)
4. f(x+y, z)=f(x, z) + f(y, z) si  f(x, y+z)=f(x, y)+f(x, z) pentru orice x, y, z
5. f(ax, y)=a f(x, y), pentru orice x, y apartinand lui V si orice a, scalar apartinand de R

Conditiile insemnand 1) e o functie(numita operatie), 2) comutativa, 3) pozitiv definita si 4),5) liniara in ambii parametri.
Un mic set de functii indeplinesc toate aceste conditii, insa produsul scalar poate fi definit in cateva moduri, asta e ideea de baza.

In spatiile vectoriale peste numelere complexe (spatiul Hilbert de ex), produsul scalar e definit usor diferit pentru a se asigura conditia 3)

Teoretica
In cazul vectorilor de tip linie sau coloana, produsul scalar poate fi definit (si este definit in general, daca nu se precizeaza altceva) ca fiind produsul celor 2 matrici, una din ele transpusa.
Daca vectorii sunt de tip linie,
produs= Va . Vb^TRANSPUS.
Daca sunt de tip coloana,
produs= Va^TRANSPUS.Vb
Rezultatul este un scalar in fiecare din cazuri.

In cazul vectorulor din spatiul euclidian, produsule definit tot cam asa.
produs= v(x_v, y_v, z_v) . u(x_u, y_u, z_u.), care practic inseamna acelasi lucru. Poti observa ca v.v= lungime_v².
Deoarece intotdeuna |x| . |y| > |x.y|, putem vorbi despre unghiul dintre vectori, acolo unde avem acest produs scalar definit, astfel...
cos(teta)= |x.y| / (|x|.|y|)
Pentru unghide 90grade, zicem ca vectorii sunt ortogonali unul pe altul. Vectorii ortogonali poarta o importanta deosebita, numarul maxim de vectori ortogonali unul pe altul, dau dimensionalitatea spatiului. De aia vorbim de 3D, 2D, etc. Acolo gasim 3, respectiv 2 vectori ortogonali intre ei in perechi de 2 cate 2.

Poti avea spatiu 4D, in cazul vectorilor matrice cu 4 elemente. Ei nu au corespondenta in fizica spatiului, insa pot fi priviti ca o extindere a spatiului 3D, matematica in 4D, 5D, 10D ramanand perfect valabila.
Dar, in orice caz, un vector (linie sau cooana) cu 5 elemente e un vector perfect valid in spatiul vectorilor cu 5 elemente. Are norma, are produs scalar, are unghi intre 2 vectori, are de toate.
Exista si geometrie 4D, 5D, etc Mai greu(sau imposibil) de vizualizat, dar exixsta.

Nu amesteca timpul. Timpul poate fi considerat o axa in spatiul 3+1 D, dar e mai complicat de a defini un produs scalar corect, o norma spatiu-timp corecta. Ele nu au o semnificatie fizica valoroasa, dar in cadrul teoriei relativitatii, acesti vectori 4D sunt foarte utilizati, insa nu este o simpla alaturare a timpului ca o noua dimensiune, e un pic mai complicat.

In practica, vectorii poti fi (si sunt) utilizati in extrem de multe locuri.
In descrierea campurilor vectoriale gen electric, magnetic, gravitational., campuri de forte elastice, vitezele din fluid, campuri de gradienti ai altor campuri scalare (gen gradient termic)

Produsul scalar e utilizat oridecateori doi vectori trebuie sa genereze un scalar.

Adica, Puterea (marime scalara, fara directie) = forta . viteza (ambele vectoriale)
Energia= forta . deplasarea


Produsul scalar e strans legat si de operatorul de divergenta.
Sarcina electrica existenta intr-un spatiu e egala cu divergenta campului electric  (una din legile lui Maxwell)
Divergenta campului magnetic este 0 intotdeauna. Asta insemnand ca nu exista sarcina(scalara) magentica. Nu exista monopol magnetic. (tot o lege de-a lui Maxwell)
La campul gravitational, densitatea de masa este egala cu gradientul campului gravific. Asta inseamna ca exista "sarcina" gravitationala scalara. O numim masa, masa e cea care atrage gravitational.
In general, oriunde un scalar trebuie extras dintr-o marime vectoriala, produsul scalar dintre 2 vectori isi va arata mutra.
Si oriunde ai o proiectie (adica un spatiu 3D proiectat pe 2D sau 1D, sau.. 8D pe un alt spatiu 5D), in general produsul scalar isi intra in functie pentru a "reduce" numarul de dimensiuni.
Daca nu ar exista acest produs (alaturi de norma spatiului, de multe ori notiunile se confunda), nu ai putea niciodata sa pleci de la o expresie de vectori sa obtii un scalar, sau un alt vector de dimensiune mai mica(1D de ex, care se confunda cu un scalar, in principiu)

Vrei sa scoti energia unui sistem al carei mecanica e exprimata vectorial? Nu ai cum s-o faci fara produsul scalar. El intra pe undeva pe-acolo in expresia care o defineste.

Lungimea iunui vector(fiind si ea un scalar) e de fapt radical din produsul vectorial al vectorului cu el insusi.
Deci si in expresia lungimii intra produsul scalar.

Vrei sa vezi aria umbrita de luna?
La fel, aria fiind un scalar, razele soarelui fiind vectori, undeva in expresia ariei trebuie sa intre produsul scalar dintre acei vectori cu vectorii de pozitie a lunii.

Edited by maccip, 29 September 2017 - 00:41.

hellocefaci, on 28 septembrie 2017 - 17:57, said:

https://en.wikipedia..._element_method
Metoda elementului finit, este o disciplina in cadrul matematicilor aplicate, care permite rezolvare unei clase largi de sisteme de ecuatiui diferentiale sau sisteme de ecuatii partiale. In partea finala, dupa prelurari si transformari, totul se reduce la a rezolva un sistem liniar diagonal de ecuatii liniare de mari dimensiuni (mii sau zeci de mii de linii si coloane).

Fundamentarea teoretica a algoritmului  se bazeaza pe rezultate din disciplina "metode variationale" (o forma particularizata disciplinei a disciplinei analiza functionala care este mult mai abstracta). Se studiaza la matematica - specializarea ecuatiile fizicii matematice licenta / matematici aplicate la master. Conceptul de spatii normate este de baza.

Exemplu: in anii 90 un coleg a vrut sa proiecteze o cladire cu cateva etaje. Arhitectul i-a facut proiectul, el s-a dus la Institutul de constructii, a introdus datele intr-un program specializat, si in doua ore a avut toate datele privind structura de rezistenta in conformitate cu standartele de securitate specificate. Paradoxal unii stalpi de rezistenta trebuiau sa aiba grosime de 20 cm; dar legislatia cerea cel putin dublu.

Un castel medieval, are pereti grosi de 1 m sau mai mult: e supradimensionat ceea ce inseamna costuri si disconfort. O vila moderna cu multe camere are pereti subtiri, garantati la standartele de securitate dorite.
Din perspectiva matematica, competitia in anumite tehnologii se realizeaza prin obtinerea de solutii la sisteme de ecuatii cu derivate partiale cu, mai multe zecimale exacte si prin modelare matematica mai apropiata de realitate.

PS: Imi povestea cineva din Africa de Sud, ca firma lui a "inchiriat un timp" niste programe de proiectare foarte eficienta. Dupa un timp nu A MAI PUTUT PLATI ABONAMENTUL, SI A VENIT IN Romania SA CAUTE CURSURI INGINERESTI - manuale de la Politehnica (din anii 60, 70, 80), care ofereu solutiile si formulele de calcul, retete tehnologice in domeniu mecanic.
Imi spunea ca sunt foarte bune, si cauta periodic ce se gareste in acest domeniu pe internet la vanzare.
In occident in unele domenii, nu mai exista cursurile clasice din inginerie. Se apeleaza la pachete soft, care se inchiriaza pe un an. Numai ca 1 milion de dolari (arma teribila in mana corporatiilor cu care sufoca firmele mici si mijlocii) pe an e o povara foarte mare pt firmele mici, si in anumite situatii trebuie cautate alternative.

Edited by RomeoM, 29 September 2017 - 08:04.