Problema probabilitati

Buna,
Am si eu o dilema, voi incerca sa formulez la modul general pentru a gasi o solutie matematica.

Exista N procese care genereaza numere aleatorii in intervalul [1,100] si care se opresc daca, la un moment dat, genereaza doua numere consecutive mai mari decat 75.

1. Care ar fi probabilitatea ca un proces sa genereze cele doua numere? Cumva prin inmultirea probabilitatii de a afla un numar mai mare decat 75 - formula evenimentelor independente? Adica 0.0625, corect?

2. Care este probabilitatea ca doua procese sa termine concomitent?

Multumesc

Edited by thereau, 02 July 2017 - 15:15.

1. Da, 0.0625.
2. Este probabilitatea ca P₁ și P₂ să se termine plus probabilitatea ca P₁ și P₃ să se termine plus ... plus probabilitatea ca P₁ și P_N să se termine plus probabilitatea ca P₂ și P₃ să se termine plus ... plus probabilitatea ca P₂ și P_N să se termine plus ... plus probabilitatea ca P_N-1 și P_N să se termine. Mă refer să se termine concomitent.

Edit: la 2, la suma care o să îți dea mai trebuie să înmulțești cu (probablitatea ca un proces să nu se termine) la puterea N-2.

Edited by tavitu, 02 July 2017 - 15:29.

thereau, on 02 iulie 2017 - 14:57, said:

Nu tocmai. 1/16 = 0,0625 este probabilitatea ca un proces anume din cele N sa genereze doua numere mai mari decat 75 de la primele doua numere din sir.

Intrebarea este neclar formulata mai sus, "doua numere consecutive mai mari decat 75" inseamna ceva gen (78, 79), poate doreai sa spui "genereaza consecutiv doua numere mai mari decat 75" (adica la pasi succesivi). In orice caz, raspunsul este diferit de 1/16. Daca consideram un singur proces, probabilitatea ca acesta sa genereze consecutiv doua numere mai mari decat 75 este egala cu 1 (cu un numar nelimitat de generari de numere, probabilitatea sa nu apara niciodata mai mult de un numar > 75 in succesiunea de extrageri tinde asimptotic la 0). Trebuie sa iti definesti mai bine dilemele de rezolvat, altminteri nu exista solutii.

Quote

Trebuie sa calculezi mai intai probabilitatea ca un proces sa se termine dupa fix "m" pasi, Pm. De exemplu, P2 = (1/4)*(1/4) ca mai inainte. P3 se obtine ca probabilitate combinata: primul pas < 76, pasii 2 si 3 > 75 deci P3 = (3/4)*(1/4)*(1/4). Analog, P4 = (3/4)*(3/4)*(1/4)*(1/4); mai general, Pm = 3^m-2/4^m.
Apoi trebuie sa calculezi probabilitatea Pim ca cel putin doua procese din N sa se termine impreuna dupa m pasi. Cum? Calculezi probabilitatea evenimentului contrar compusa la randul ei din:
1. niciun proces nu se termina dupa m pasi -> eveniment de probabilitate (1-Pm)^N
si
2. un singur proces se termina dupa m pasi, eveniment de probabilitate N*Pm*(1-Pm)^N-1

Deci Pim = 1 - (1-Pm)^N-1*(1+ (N-1)*Pm)

In fine, sumezi Pim dupa m = 2, 3, ... , oo si obtii probabilitatea cautata.

Spor la inlocuiri!

In primul rand problema nu precizeaza ca numere sunt uniform distribuite in intervalul [1;100]. Trebuie sa subintelegem.
Apoi e ambiguitatea formiularii cu consecutive. Poti avea numere consecutive, generari consecutive, sau ambele.
In plus nu e precizat daca masina genereaza un numar sau perechi de numere la fiecare pas. Nu e specificat cate numere se genereaza per pas. Predupunem ca 1.

Mergand pe presupunerile de pana acum (aia cu 1/16 facuta din 2 de 1/4), numarul de pasi pana la oprire este distribuit dupa o distributie de tip Pascal, cu relatiile matematice date de mdionis, usor modificate functie de .. ce inseamna primul pas pentru acea masina. Prima extragere are probabilitate 0 de a opri masina.. ma rog. deja sunt detalii,
Dar mi-e ca e vorba despre numere consecutive, chestie care schimba destul de mult problema.

Edited by maccip, 02 July 2017 - 17:22.

Mulțumesc pentru răspunsuri.
Intr-adevar nu m-am exprimat clar, m-am referit la generarea consecutiva, nu numerele sa fie consecutive. Maccip, presupunerilor sunt bune.
Mdionis, mi se pare corecta abordarea, doar că nu înțeleg de ce se mai înmulțește cu N la probabilitatea unui proces de a se termina - la pct 2.

Între timp m-am gândit la altceva...să zicem că un proces generează un număr la fiecare 1 mili secunda...probabilitatea de a se termina in cel mult 100 de ms este egală cu probabilitatea de a se termina in 100 de pași, nu?

Edited by thereau, 03 July 2017 - 22:21.

thereau, on 03 iulie 2017 - 22:19, said:

Cum de ce?! fiindca ai N procese si fiecare dintre ele contribuie cu aceeasi probabilitate de evenimente disjuncte. O suma de N probabilitati egale -> inmultire cu N.

Quote

Inexact. Probabilitatea de a se termina in cel mult 100 ms este evident egala cu probabilitatea de a se termina in cel mult 100 de pasi care la randul ei este este egala cu probabilitatea de a se termina in fix 2 pasi la care se aduna probabilitatea de a se termina in fix 3 pasi, apoi cea de a se termina in fix 4 pasi etc. pana la probabilitatea de a se termina in fix 100 de pasi. Altefl spus, P(cel mult 100) = P2 + P3 + P4 + ... + P99 + P100 fiindca evenimentele sunt disjuncte.

Pentru ca ai N variante. Combinari de N luate cate 1, adica N.
Daca aveai k procese sa se termine, in general aveai P=Combinari(N,k) *Pm^k*(1-Pm)^N-k

LE: Ah.. a raspuns si mdionis inainte.

As completa pentru o mai buna intelegere..
Gandeste-te la dezvoltarea puterii unui binom  vs probabilitatea totala data de totalitatea cazurilor posibile pentru N procese

1=1^N=(Pm +1-Pm)^N= Suma{Combinari(N,k) * Pm^k(1-Pm)^N-k}.

Edited by maccip, 03 July 2017 - 22:51.

LLE:
Nu stiu ce gen de problema e aia, daca e ceva ingineresc si se permite o aproximare, ceva, si ai N mare, Pm mic, poti s-o aproximezi cu o distributie de tip Poisson. E mai simplu de calculat, nu ai nevoie de combinatorica aia urata si merge foarte bine daca N e mare si Pm e mic.
De fapt, distributia Poisson e un fel de distributie binomiala (adica k masini din N sa se opreasca, aia cu combinari) Poisson e o aproximatie rezonabila, in inginerie cam asta se foloseste in cazul evenimentelor de tipul asta cu masini, milisecunde.. chestii. Insa masinile alea trebuie sa se opreasca foarte rar, probabilitatea ca 2 sa se opreasca in acelasi timp sa fie neglijabila.

Edited by maccip, 03 July 2017 - 23:08.