O curbă parametrizată

Bună seara tuturor,

Ce curbă are următoarele ecuații parametrice:

x=[2-t-(-3t²+4t+28)^0,5]:2
y=[2-t+(-3t²+4t+28)^0,5]:2
z=t

Toate cele bune,

Kosinus

https://www.wolframa...+4t+28))/2, t}]

E o elipsa.

dani.user, on 16 ianuarie 2022 - 17:51, said:

Bună dimineața,

Cum se numește această curbă și cum demonstrăm aceasta?Mulțumesc foarte mult!

Toate cele bune,

Kosinus

maccip, on 16 ianuarie 2022 - 20:54, said:

Cum demonstrăm ca este o elipsă?Mulțumesc foarte mult!

Toate cele bune,

Kosinus

In cazul de fata, daca scadem x-y, se vede ca rezulta ecuatia unei elipse (poate fi si cerc). x-y=c fiind ecuatia unui plan.
In cazul general, pe o curba anume, poti calcula cu relatiile lui Frenet versorul binormalei si daca e acelasi pe toata curba, insamna ca e o curba plana. Daca e curba plana, o poti proiecta pe planul perpendicular pe versorul binormalei si reduci dimensionalitatea la 2 din 3. Si acolo vezi exact ce tip de curba e.
Or mai fi si alte metode  pentru cazuri particulare care sa simplifice procesul, dar ideea e ca se poate si asa cum am zis in modul general, chiar daca muncesti ceva mai mult fiind nevoie si de derivata a3a in relatiile lui Frenet.

Elipsa fara sin si cos? In graficul atasat arata ca ... curba.

maccip, on 17 ianuarie 2022 - 11:06, said:

Bună ziua,

Este o elipsă sau este un cerc?Ce rezultă dacă calculăm x+y+z și x²+y²+z²?

Toate cele bune,

Kosinus

Edited by kosinus, 17 January 2022 - 13:25.

Daca calculezi x+y+z rezulta altceva, nu un plan.
La fel si cu patratele.
Cercul e oricum o elipsa. Sa vezi daca-i cerc, trebuie facute niste calcule pe care n-am chef sa le fac, mai ales ca evaluatricea mea euristicoida imi spune ca-i elipsa, nu cerc.

dani.user, on 17 ianuarie 2022 - 11:08, said:

Si in termeni de (t, sin(acos(t) ), tot elipsa va fi,. Sin(acos) care e de fapt un fel de sqrt(1-t^2).
E alta parametrizare, fara si/cos, dar e aceiasi curba.
Daca ai t=cos(q), atunci in termeni de q, parametrizarea va fi (cos(q), sin(q)) care se vede mai usor ca-i elipsa.

De fapt, daca gasesti substitutiile potrivite, poti exprima in loc de radicalul ala in termeni de sin-cos. Nici nu ar trebui sa fie tare greu, substitutiile respective se faceau pe la calculul integralelor din radicali din ceva cu x patrat. Erau niste substitutii trigonometrice acolo, functie de tipul formei patratice aflate sub radical.

Tre sa formezi un patrat perfect sub radical si din ce-ti mai ramane. Daca nu-ti ramane nimic, e parabola, daca-ti ramane ceva cu minus, e elipsa/cerc, daca-ti ramane ceva cu plus, e hiperbola.
Si substitutiile aferente aveau de fapt legatura cu chestiile astea. Cateodata trebuia sa faci substitutie cu sinh/cosh, altadata cu sinus simplu. Daca nu aveai radical, era cu tangenta sau cu tanh, desi aia cu tanh nu se facea deoarece erau si alte metode ( scrierea numitorului compus ca suma de fractii cu numitor de ord 1).

Astea au legatura cu forma patratica din interiorul radicalului, care-ti da caracterul curbei. Se vede si din domeniul de definitie, dat fiind faptul ca rezultatul de sub radical tre sa fie real.

maccip, on 17 ianuarie 2022 - 14:42, said:

Bună dimineața,

Din calculele mele rezultă că x+y+z=2 și x²+y²+z²=16. ceea ce îseamnă că este vorba despre intersecția dintre un plan și o sferă și deci această intersecție este un cerc.Care este centrul și raza acestui cerc?Mulțumesc foarte mult!

Toate cele bune,

Kosinus

Edited by kosinus, 18 January 2022 - 07:37.

Ti-am dat link la graficul curbei. De ce nu te uiti la el? Nici macar nu e o curba inchisa, acel radical fiind definit pe un numar restrans de valori...

dani.user, on 18 ianuarie 2022 - 12:06, said:

Bună ziua,

M-am uitat!Da, este un semicerc, dar dacă schimbăm în "WolframAlpha" semnele radicalilor din ecuațiile lui x și y atunci obținem celălalt semicerc.De-acord?Cum trebuie să scriem pe "Wolfram Alpha" acele ecuații parametrice astfel în cât programul de calcul să ne dea un cerc?Mulțumesc foarte mult!
Problemă:
Găsiți ecuațiile parametrice ale intersecției dintre sfera x²+y²+z²=16 și planul x+y+z=2.

Toate cele bune,

Kosinus

Edited by kosinus, 18 January 2022 - 13:12.

kosinus, on 18 ianuarie 2022 - 07:34, said:

Insamna ca asa o fi si esti mai avansat ca mine la calcule. Vrei tu sa fac calculele astea si eu neaparat? Adica.. nu prea ma atrag, nu ma satisfac. Dar daca vrei tu, le fac.

kosinus, on 17 ianuarie 2022 - 13:24, said:

Asa cum ai scris, coordonatele (x,y,z) date de expresiile parametrice mentionate satisfac relatiile

x + y + z = 2 [-> ecuatia unui plan ce trece prin punctele I:(2,0,0), J:(0,2,0) si K:(0,0,2) aflate pe cele trei axe carteziane]

si

x² + y² + z² = 4² [ecuatia unei sfere centrate in origine  si de raza 4]

In mod necesar, aceste puncte apartin cercului obtinut prin intersectarea sferei cu planul [-> din motive de simetrie evidente, centrul sau coincide cu centrul triunghiului echilateral IJK -> punctul Q:(2/3,2/3,2/3) iar raza sa se calculeaza usor pe considerente geometrice, r = 2*sqrt(11/3) ]

Dat fiind ca parametrizarea data este univoca, unei valori date a lui t (implicit: a lui z) ii corespunde o unica tripleta de coordonate (x,y,z), ceea ce inseamna ca la o inaltime (z) data avem un singur punct al curbei (cu x si y definite in mod univoc):

kosinus, on 16 ianuarie 2022 - 17:40, said:

Evident, in acest fel este generat numai un semicerc, si anume ramura pentru care coordonata x < coordonata y. Daca dorim sa obtinem intregul cerc, este necesar sa consideram si curba data de expresia simetrica in care intervertim x cu y:
x=[2-t+(-3t²+4t+28)^0,5]/2
y=[2-t-(-3t²+4t+28)^0,5]/2
z=t
si care reprezinta evident semicercul simetric primului (fata de planul vertical ce contine axa z si prima bisectoare a planului xOy) pentru care coordonata x > coordonata y.
Este de mentionat ca extremitatile semicercurilor se obtin pentru valorile minima si maxima ale lui t (-> z), t_min = 2/3 (1 - sqrt(22)) si t_max = 2/3 (1 + sqrt(22)) impuse de radacina patrata din enunt.

Bună dimineața Domnule Profesor "mdionis" și "La Mulți Ani!".

Ca mai întotdeauna,ați dat și la acest subiect un răspuns clar și fără echivoc.Mulțumesc foarte mult!

Cu stimă,

Kosinus

Edited by kosinus, 20 January 2022 - 07:32.