Despre corectitudinea metodei de rezolvare a exercitiilor cu Sirul lui Rolle

Luam un exemplu:

Fie ecuatia x^3 + mx^2 - x + 5 = 0. Avem de aflat numarul de solutii ale ecuatiei in functie de m.

Vom face rezolvarea standard.

Impartim prin x^2, ajungem la x + m - 1/x + 5/x^2 = 0.

Acum avem o functie f:R* --> R, f(x) = x + m - 1/x + 5/x^2, cu derivata (x^3 + x - 10)/x^3. Derivata are solutia x = 2.

Nu mai fac aici tabelul, dar la final se ajunge la urmatoarele cazuri:

Pentru m < 9/4: 3 solutii reale.
Pentru m = 9/4: 2 solutii reale.
Pentru m > 9/4: o solutie reala.


Acum se pune problema corectitudinii. Am avut o discutie cu cineva care m-a contrazis cand i-am prezentat o rezolvare a unui exercitiu putin mai greu, dar asemanator.

Mi-a spus ca este o prostie sa spun ca derivata functiei dependente de m este egala cu derivata functiei dupa impartirea la coeficientul lui m, deoarece am functie si nu ecuatie, iar cele 2 functii nu sunt egale. Respectivul este as la matematica, deci mi-a fost greu sa-l contrazic.

Acum, ajuns acasa, observ ca rezolvarea mea parea in regula, dar si el pare sa aiba dreptate.

Voi ce credeti?

Multumesc anticipat.

Edited by loading_, 20 August 2014 - 12:05.

Este corect ca cele 2 derivate nu reprezinta acelasi lucru. Insa demonstratia se bazeaza pe altceva. Si anume ca daca f(x)=0 nu are ca solutie pe 0, atunci f(x)=0 si f(x)/x²=0 vor avea exact aceleasi radacini. Ceea ce inseamna ca se poate analiza ce/cate radacini are f(x)/x² pentru a putea deduce asupra radacinilor lui f(x).

Deci rezolvarea este corecta. Multumesc.