Probleme matematicã
Last Updated: Aug 09 2017 07:31, Started by
Zamo
, Mar 14 2008 18:22
·
0
#2701
Posted 19 March 2014 - 23:26
aia cu diametrul boabelor de mazare nu merge deoarece boabele se turtesc.
Cel mai simplu e sa calculezi volumul cilindrului, numeri boabele dintr-un metru cub de mazare dupa care faci regula de 3 simpla. Pac-pac! |
#2703
Posted 20 March 2014 - 15:38
asta e din ciclul "hai sa aflam numarul de furnici dintr-un musuroi"
|
#2704
Posted 20 March 2014 - 16:02
Dacă știi volumul estimativ al mușuroiului și masa unei furnici se poate determina densitatea = (nr. furnici) * (masa unei furnici) / volum, deci se poate calcula.
Edited by namespace, 20 March 2014 - 16:07. |
#2705
Posted 20 March 2014 - 16:07
Se poate "calcula".
Dar intrebarea era "cum pot "numara". Cilindrul trebuie sa fie transparent si sa aiba biametrul cat un bob de mazare. Edited by maramicuip, 20 March 2014 - 16:10. |
#2706
Posted 20 March 2014 - 17:12
Din moment ce calculul cerut este aproximativ, conform cu datele problemei, solutia este sa se imparta gramada de boabe in jumatati in mod recursiv pana se ajunge la o singura boaba. Dupa care este doar problema de ridicat 2 la puterea numarului de injumatatiri efectuate.
|
#2708
Posted 20 March 2014 - 18:18
#2709
Posted 20 March 2014 - 18:50
Ai gresit calculul. De la 20 la 1 sant 4 injumatatiri. Dar oricum nu da bine. Formula de calcul este ceva mai complicata daca vrei sa nu iti dea cu virgula.
In cazul de fata, este 2^4 + 4*1, fiind vorba de 4 resturi de cate o unitate la impartirea valorii 5 la 2. Oricum, se poate extrage o formula generala de calcul. Avand in vedere ca se utilizeaza operatiuni modulo 2, marja de eroare cand vorbim de valori mari ale numarului initial este foarte mica prin comparatie. |
#2710
Posted 20 March 2014 - 19:01
Greșit, ai 4 iterații: 20 - 10 (1) / 10 - 5 (2) / 5 - 2 (3) / 2 - 1 (4). Deci ar trebui să obții 24 = 16, acele 4 boabe lipsă rezultând din faptul că 5 nu se împarte exact la 2, deci punem 2 boabe de-o parte în fiecare grămadă, și cum avem 2 grămezi, rezultă 2*2 = 4 boabe suplimentare.
Deci, 20 = 24 + 4 (A). Considerăm x numărul de boabe dintr-o parte a grămezii. Cum cantitatea din partea stângă, să zicem, se înjumătățește cu fiecare iterație, se definește cantitatea după iterarea t, astfel: x := c(t) = x / 2t, pentru ∀ t ∈ ℕ, cu x = c(0) = numărul inițial de boabe. Îl împărțim pe x consecutiv la 2, iar când găsim un număr impar, trebuie să adunăm 2k de fiecare dată, k fiind numărul iterației în care găsim un număr impar. Să luăm drept exemplu 100. La 100 de boabe avem: 100 / 2 = 50 (1) 50 / 2 = 25 (2) - iterație impară, primul k = 2 25 / 2 = 12 (3) 12 / 2 = 6 (4) 6 / 2 = 3 (5) - iterație impară, al doilea k = 5 3 / 2 = 1 (6) Avem deci, 100 = 26 + 25 + 22 = 64 + 32 + 4 = 100 (A). În concluzie, numărul total de boabe este: x = 2iterații + Σ2k, cu k = contor ce reține numărul iterației la care s-a găsit un număr impar. Edited by namespace, 20 March 2014 - 19:10. |
|
#2711
Posted 20 March 2014 - 19:14
Un anumit sultan, folosea o tabla de sah, puterea a 2-a, si boabe de grau pentru a calcula impozitele agricole.
|
#2712
Posted 20 March 2014 - 19:21
maramicuip, on 20 martie 2014 - 19:14, said:
Un anumit sultan, folosea o tabla de sah, puterea a 2-a, si boabe de grau pentru a calcula impozitele agricole. namespace, on 20 martie 2014 - 19:01, said:
Să luăm drept exemplu 100. La 100 de boabe avem: 100 / 2 = 50 (1) În concluzie, numărul total de boabe este: x = 2iterații + Σ2k, cu k = contor ce reține numărul iterației la care s-a găsit un număr impar. deci trebuie totusi sa le numaram....ca sa le injumatatim |
#2713
Posted 21 March 2014 - 03:30
Xenon2006, on 18 martie 2014 - 09:14, said: Fie f : [a,b] -> R o functie cu proprietatea ca are limite finite in orice punct din [a,b]. Aratati ca f este integrabila pe [a,b]. Fie f* functia continua corespunzatoare lui f (i.e. pentru care am facut f*(x) = lim y->x f(y) despre care stim ca exista si este finita in orice punct). Atunci f* este integrabila pe [a,b]. f difera de f* pe D (multimea punctelor de discontinuitate ale lui f, inclusa in [a,b]). Vrem sa aratam ca D este cel mult numarabila. Consideram functia auxiliara h = |f-f*| care este nula peste tot in afara lui D unde este (strict) pozitiva si are limita nula in orice punct al sau. Fie I0 = { x in D | h(x) > 1 }, I1 = { x in D | 1 >= x > 1/2 }, I2 = { x in D | 1/2 >= x > 1/4 }, ... , In = { x in D | 1/2n-1 >= x > 1/2n } , ... Presupunem prin absurd ca vreuna dintre In ar fi infinita; din marginire rezulta ca exista cel putin un punct de acumulare zn in In pentru care exista un sir de elemente xn,k din In ce tinde la zn. In acest caz, h(xn,k) > 1/2n si h nu poate avea limita nula in zn, contradictie. Deci toate In sunt de cardinalitate finita (eventual nula). Dat fiind ca D este dat de reuniunea numarabila a tuturor intervalelor In, rezulta ca D este in mod necesar cel mult numarabila. O multime cel mult numarabila are masura Lebesgue nula => D are masura Lebesgue nula, deci f este continua a.p.t. si, in consecinta, este integrabila. |
#2714
Posted 21 March 2014 - 08:45
Aha, deci am ghicit cat de cat mai devreme, doar ca eu credeam ca mt pct de discontinuitate e nenumarabila si se poate trata pe reuniune nenumarabila de intervale. Evident ca nu mai puteam aplica Lebesgue si m-am oprit.
Apoi m-am chinuit ulterior sa vad totusi pt cazul in care f este discontinua in orice pct din [a,b]. Intrebarea mea acum este: exista o astfel de fct, discontinua in orice pct din interval si cu toate pct de duscont de speta I? Din dem lui mdionis se pare ca nu. |
#2715
Posted 21 March 2014 - 09:05
mdionis, on 21 martie 2014 - 03:30, said: Fie I0 = { x in D | h(x) > 1 }, I1 = { x in D | 1 >= x > 1/2 }, I2 = { x in D | 1/2 >= x > 1/4 }, ... , In = { x in D | 1/2n-1 >= x > 1/2n } , ... ... a se citi , In = { x in D | 1/2n-1 >= h(x) > 1/2n } si analoagele. Quote D este dat de reuniunea numarabila a tuturor intervalelor In, rezulta ca D este in mod necesar cel mult numarabila. Evident, In nu sunt intervale ci multimi (disjuncte) de puncte din [a,b]. Ora tarzie e de vina pentru neatentie, insa vad ca demonstratia se intelege si asa. vidmaker said: Intrebarea mea acum este: exista o astfel de fct, discontinua in orice pct din interval si cu toate pct de duscont de speta I? Din dem lui mdionis se pare ca nu. Nu, nu exista. Functia standard definita ca 1 pentru x rational si 0 in rest nu are limita (si este discontinua) in fiecare punct al ei, insa discontinuitatile sunt de speta a doua. Se poate demonstra mai general ca multimea discontinuitatilor eliminabile (limite laterale egale), multimea celor cu salt (limite laterale diferite) si a celor care au o singura limita laterala de speta intai sunt cel mult numarabile. Edited by mdionis, 21 March 2014 - 09:23. |
|
#2716
Posted 21 March 2014 - 23:40
Propun și eu un calcul interesant: să se determine lim(n→∞) Σ(k=1, n) (-1)k-1 · 1/k
|
#2717
Posted 22 March 2014 - 18:00
Acea suma este sirul sumelor partiale ale seriei armonice alternante. 1-1/2+1/3-1/4+...
Limita este, evident, suma seriei daca seria este convergenta. Sau invers, ma rog, daca sirul sumelor partiale are limita atunci seria este convergenta si limita expusa de tine este suma seriei. Pentru rezolvare dezvolti Taylor functia 1/(1-x), apoi integrezi stanga si dreapta, inlocuiesti x cu ce trebuie si obtii ce te intereseaza. Cred ca rezultatul este stiut de toata lumea, ln2. La fel, pentru tine, iti propun sa te mai joci si cu alte serii, spre exemplu (-1)k-1 *1/(2k-1) care are suma pi/4. Mai interesant cu aceasta suma este urmatorul artificiu: Fie S1=1+1/3+1/5+1/7....... si S2 =1/2+1/4+1/6+1/8 => 2S2=1+1/2+1/3+1/4...... Dar S1+S2=1+1/2+1/3+1/4+... Deci S1+S2=2S2 => S1=S2 => S1-S2=0 dar S1-S2 = tocmai seria de mai sus. Asadar ln2=0? Ce este gresit? Nu vreau raspunsuri de la matematicienii cunoscuti de pe aici. Asta ca sa mai schimbam putin aberatia aia cu simplificarea in stanga si dreapta cu 0 si obtinerea unor egalitati care, evident, nu au nicio noima. Edited by vidmaker, 22 March 2014 - 18:08. |
#2718
Posted 23 March 2014 - 08:15
Mie (printre altele) asta mi se pare remarcabila (impreuna cu rezolvarea...)
S = 1/12 + 1/22 + ... + 1/k2 +.... |
Anunturi
Bun venit pe Forumul Softpedia!
▶ 0 user(s) are reading this topic
0 members, 0 guests, 0 anonymous users